Даследаванне функцыі для пачаткоўцаў

Функцыяй з некаторай вобласцю абазначэння называецца адпаведнасць, пры якім кожнаму ліку x з пэўнага мноства ставіцца ў адпаведнасць некаторы цалкам вызначаны лік y.

Звычайна функцыі пазначаюць лацінскімі літарамі. Разгледзім любы прыклад f. Лік y, якое адказвае ліку x, называюць значэннем дадзенай f ў канкрэтнай кропцы x. Уяўляюць так: f (x). Абсяг вызначэння функцыі f - гэта D (f). Вобласць, якая складаецца з усіх значэнняў функцыі f (x), дзе аргумент x належыць вобласці вызначэння, называюць вобласцю значэнняў f. Яе запісваюць так: E (f).

Часцей за ўсё функцыю задаюць пры дапамозе формул. Пры гэтым, калі не вызначаны дадатковыя абмежаванні, вобласцю абазначэння функцыі, якая зададзена формулай, будзе лічыцца мноства ўсіх значэнняў зменнай, і такая формула мае месца быць.

Аб'яднаннем двух мностваў называецца такое мноства, кожны элемент якога можа належаць і належыць хоць бы аднаму з дадзеных мностваў.

Для абазначэння лікаў з вобласці абазначэння функцыі x выбіраюць некаторую літару, якая называецца незалежнай зменнай ці ж аргументам.

Часта разглядаюцца такія вобласці, у якіх вобласць значэнняў і вобласць пазначэнняў не зьяўляюцца лікавымі мноствамі.

Калі праводзіцца даследаванне функцыі, прыклады можна разглядаць пры дапамозе графіка. Графікам функцыі называюць мноства кропак на каардынатнай плоскасці, дзе аргумент "прабягае" усю вобласць абазначэння. Для таго каб падмноства каардынатнай плоскасці было графікам некаторай функцыі, неабходна, каб такое падмноства мела хаця б адну агульную кропку з любой прамой, якая раўналежная восі абсцыс.

Функцыю называюць якая расце на мностве, калі вышэйшай значэнні аргументу з такога мноства адказвае вышэйшую значэнне функцыі, а сыходнай на мностве - калі вышэйшай значэнні аргументу адказвае найнізкае значэнне функцыі.

У працэсе даследавання функцыі на нарастанне і на сыходжанне трэба пазначыць прамежкі росту і спаду максімальнай даўжыні.

Функцыя называецца парнай, калі для любога аргументу з яго вобласцю абазначэння будзе f (-x) = f (x), ці ж няпарны - калі для любога аргументу з вобласцю абазначэння будзе f (-x) = - f (x). Да таго ж, графік парнай функцыі будзе сіметрычным адносна восі ардынат, а графік няпарны - сіметрычным адносна кропкі (0; 0).

Для таго каб пазбегнуць памылак, калі праводзіцца даследаванне функцыі, неабходна навучыцца знаходзіць характэрныя асаблівасці. Для гэтага трэба будзе правесці такія крокі:

1. Знайсці вобласць абазначэння.

2. Правесці праверку на парнасць альбо ж няпарнага, а так жа перыядычнасць.

3. Неабходна знайсці кропкі перахрышчаных графіка функцыі з ардыната і абсцыс.

4. На гэтым этапе трэба знайсці прамежкі, дзе функцыя мае станоўчыя значэння, а дзе - адмоўныя. Такія прамежкі называюць прамежкамі з пастаяннымі знакамі. Гэта значыць, трэба ўсталяваць, дзе ляжыць графік - вышэй альбо ж ніжэй восі абсцыс.

5. Істотна палегчаць задачу пабудовы графіка звесткі аб тым, на якіх прамежках функцыя расце, а на якіх падае. Такія прамежкі называюць прамежкамі росту і прамежкамі сыходжаньня.

6. Цяпер трэба знайсці тыя значэнні функцыі ў кропках, дзе рост змяняецца сыходжаньнем, альбо ж наадварот.

Такое даследаванне функцыі дае магчымасць пабудаваць графік. Акрамя таго, неабходна знайсці кропкі экстрэмуму. Што гэта такое?

Кропка будзе кропкай мінімуму, калі для ўсіх значэнняў аргументу з некаторага дыяпазону пункту справядлівым будзе няроўнасць f (x)> f (x0).

Кропка з'яўляецца кропкай максімуму, калі для ўсіх значэнняў аргументу з некаторага дыяпазону пункту справядлівым будзе няроўнасць f (x)