Каардынатная плоскасць: што гэта такое? Як адзначаць кропкі і будаваць фігуры на каардынатнай плоскасці?

Матэматыка - навука даволі складаная. Вывучаючы яе, прыходзіцца не толькі вырашаць прыклады і задачы, але і працаваць з рознымі фігурамі, і нават плоскасцямі. Адной з найбольш выкарыстоўваюцца ў матэматыцы з'яўляецца сістэма каардынатаў на плоскасці. Правільнай працы з ёй дзяцей вучаць не адзін год. Таму важна ведаць, што гэта такое і як правільна з ёй працаваць.

Давайце ж разбяромся, што ўяўляе сабой дадзеная сістэма, якія дзеянні можна выконваць з яе дапамогай, а таксама даведаемся яе асноўныя характарыстыкі і асаблівасці.

азначэнне паняцця

Каардынатная плоскасць - гэта плоскасць, на якой зададзена пэўная сістэма каардынатаў. Такая плоскасць задаецца двума прамымі, перасякальнымі пад прамым вуглом. У пункце перасячэння гэтых прамых знаходзіцца пачатак каардынатаў. Кожная кропка на каардынатнай плоскасці задаецца парай лікаў, якія называюць каардынатамі.

У школьным курсе матэматыкі школьнікам даводзіцца даволі цесна працаваць з сістэмай каардынатаў - будаваць на ёй фігуры і кропкі, вызначаць, якой плоскасці належыць тая ці іншая каардыната, а таксама вызначаць каардынаты кропкі і запісваць або называць іх. Таму пагаворым падрабязней аб усіх асаблівасцях каардынатаў. Але перш кранём гісторыю стварэння, а затым ужо пагаворым пра тое, як працаваць на каардынатнай плоскасці.

Гістарычная даведка

Ідэі аб стварэнні сістэмы каардынатаў былі яшчэ ў часы Птоломея. Ужо тады астраномы і матэматыкі думалі пра тое, як навучыцца задаваць становішча кропкі на плоскасці. На жаль, у той час яшчэ не было вядомай нам сістэмы каардынатаў, і навукоўцам даводзілася карыстацца іншымі сістэмамі.

Першапачаткова яны задавалі кропкі з дапамогай ўказанні шыраты і даўгаты. Доўгі час гэта быў адзін з найбольш выкарыстоўваюцца спосабаў нанясення на карту той ці іншай інфармацыі. Але ў 1637 годзе Рэнэ Дэкарт стварыў уласную сістэму каардынатаў, названую пасля ў гонар вялікага матэматыка "декартовой".

Пасля апублікавання працы «Геаметрыя» сістэма каардынатаў Рэнэ Дэкарта заваявала прызнанне ў навуковых колах.

Ужо ў канцы XVII ст. паняцце «каардынатная плоскасць» стала шырока выкарыстоўвацца ў свеце матэматыкі. Нягледзячы на тое што з моманту стварэння дадзенай сістэмы прайшло ўжо некалькі стагоддзяў, яна да гэтага часу шырока выкарыстоўваецца ў матэматыцы і нават у жыцці.

Прыклады каардынатнай плоскасці

Перш чым казаць аб тэорыі, прывядзем некалькі навочных прыкладаў каардынатнай плоскасці, каб вы змаглі прадставіць яе сабе. У першую чаргу каардынатная сістэма выкарыстоўваецца ў шахматах. На дошцы кожны квадрат мае свае каардынаты - адну каардынату літарныя, другую - лічбавую. З яе дапамогай можна вызначыць становішча той ці іншай фігуры на дошцы.

Другім найбольш яркім прыкладам можа служыць любімая многімі гульня «Марскі бой». Узгадайце, як, гуляючы, вы называеце каардынату, напрыклад, В3, такім чынам паказваючы, куды менавіта цэліцеся. Пры гэтым, расстаўляючы караблі, вы задаеце кропкі на каардынатнай плоскасці.

Дадзеная сістэма каардынатаў шырока ўжываецца не толькі ў матэматыцы, лагічных гульнях, але і ў ваеннай справе, астраноміі, фізіцы і многіх іншых навуках.

восі каардынат

Як ужо гаварылася, у сістэме каардынатаў вылучаюць дзве восі. Пагаворым крыху пра іх, так як яны маюць немалое значэнне.

Першая вось - абсцыс - гарызантальная. Яна пазначаецца як (Ox). Другая вось - ардынат, якая праходзіць вертыкальна праз кропку адліку і пазначаецца як (Oy). Менавіта гэтыя дзве восі ўтвараюць сістэму каардынатаў, разбіваючы плоскасць на чатыры чвэрці. Пачатак адліку знаходзіцца ў пункце перасячэння гэтых двух восяў і прымае значэнне 0. Толькі ў выпадку калі плоскасць ўтворана двума перасякальнымі перпендыкулярна восямі, якія маюць кропку адліку, гэта каардынатная плоскасць.

Таксама адзначым, што кожная з восяў мае свой кірунак. Звычайна пры пабудове сістэмы каардынатаў прынята паказваць кірунак восі ў выглядзе стрэлачкі. Акрамя таго, пры пабудове каардынатнай плоскасці кожная з восяў падпісваецца.

чвэрці

Зараз скажам пару слоў пра такое паняцце, як чвэрці каардынатнай плоскасці. Плоскасць разбіваецца двума восямі на чатыры чвэрці. Кожная з іх мае свой нумар, пры гэтым нумарацыя плоскасцяў вядзецца супраць гадзінны стрэлкі.

Кожная з чвэрцяў мае свае асаблівасці. Так, у першай чвэрці абсцыс і ардыната станоўчая, у другой чвэрці абсцыс адмоўная, ардыната - станоўчая, у трэцяй і абсцыс, і ардыната адмоўныя, у чацвёртай жа станоўчай з'яўляецца абсцыс, а адмоўнай - ардыната.

Запомніўшы гэтыя асаблівасці, можна з лёгкасцю вызначыць, да якой чвэрці ставіцца тая ці іншая кропка. Акрамя таго, гэтая інфармацыя можа спатрэбіцца вам і ў тым выпадку, калі прыйдзецца рабіць вылічэнні, выкарыстоўваючы декартовых сістэму.

Праца з каардынатнай плоскасцю

Калі мы разабраліся з паняццем плоскасці і пагаварылі аб яе чвэрцях, можна перайсці да такой праблеме, як праца з дадзенай сістэмай, а таксама пагаварыць пра тое, як наносіць на яе пункту, каардынаты фігур. На каардынатнай плоскасці зрабіць гэта не так цяжка, як можа здацца на першы погляд.

У першую чаргу будуецца сама сістэма, на яе наносяцца ўсе важныя абазначэння. Затым ужо ідзе праца непасрэдна з кропкамі ці фігурамі. Пры гэтым нават пры пабудове фігур спачатку на плоскасць наносяцца кропкі, а затым ужо прамалёўваюцца фігуры.

Далей мы пагаворым падрабязней аб пабудове сістэмы і непасрэдна нанясенні кропак і фігур.

Правілы пабудовы плоскасці

Калі вы вырашылі пачаць адзначаць на паперы фігуры і кропкі, вам спатрэбіцца каардынатная плоскасць. Каардынаты кропак наносяцца менавіта на яе. Для таго каб пабудаваць каардынатную плоскасць, спатрэбіцца толькі лінейка і ручка або аловак. Спачатку малюецца гарызантальная вось абсцыс, затым вертыкальная - ардынат. Пры гэтым важна памятаць, што восі перасякаюцца пад прамым вуглом.

Далей на кожнай восі паказваюць кірунак і падпісваюць іх з дапамогай агульнапрынятых пазначэнняў x і y. Таксама адзначаецца кропка перасячэння восяў і падпісваецца лічбай 0.

Наступным абавязковым пунктам з'яўляецца нанясенне разметкі. На кожнай з восяў ў абодвух напрамках адзначаюцца і падпісваюцца адзінкі-адрэзкі. Гэта робіцца для таго, каб пасля можна было працаваць з плоскасцю з максімальнай выгодай.

адзначаем кропку

Зараз пагаворым аб тым, як нанесці каардынаты кропак на каардынатнай плоскасці. Гэта аснова, якую варта ведаць, каб паспяхова размяшчаць на плоскасці разнастайныя фігуры, і нават адзначаць ўраўненні.

Пры пабудове кропак варта памятаць, як правільна запісваюцца іх каардынаты. Так, звычайна задаючы кропку, у дужках пішуць дзве лічбы. Першая лічба абазначае каардынату кропкі па восі абсцыс, другая - па восі ардынат.

Будаваць кропку варта такім чынам. Спачатку адзначыць на восі Ox зададзеную кропку, затым адзначыць кропку на восі Oy. Далей правесці ўяўныя лініі ад дадзеных пазначэнняў і знайсці месца іх перасячэння - гэта і будзе зададзеная кропка.

Вам застанецца толькі адзначыць яе і падпісаць. Як бачыце, усё даволі проста і не патрабуе асаблівых навыкаў.

размяшчаем фігуру

Цяпер пяройдзем да такога пытання, як пабудова фігур на каардынатнай плоскасці. Для таго каб пабудаваць на каардынатнай плоскасці любую фігуру, варта ведаць, як размяшчаць на ёй кропкі. Калі вы ўмееце гэта рабіць, то размясціць фігуру на плоскасці не так ужо і складана.

У першую чаргу вам спатрэбяцца каардынаты кропак фігуры. Менавіта па іх мы і будзем наносіць на нашу сістэму каардынатаў абраныя вамі геаметрычныя фігуры. Разгледзім нанясенне прамавугольніка, трохвугольніка і акружнасці.

Пачнем з прамавугольніка. Наносіць яго даволі проста. Спачатку на плоскасць наносяцца чатыры кропкі, якія абазначаюць куты прастакутніка. Затым усе кропкі паслядоўна злучаюцца паміж сабой.

Нанясенне трыкутніка нічым не адрозніваецца. Адзінае - кутоў ў яго тры, а значыць, на плоскасць наносяцца тры кропкі, якія абазначаюць яго вяршыні.

Датычна акружнасці тут варта ведаць каардынаты двух пунктаў. Першая кропка - цэнтр акружнасці, другая - кропка, якая пазначае яе радыус. Гэтыя дзве кропкі наносяцца на плоскасць. Затым бярэцца цыркуль, вымяраецца адлегласць паміж двума кропкамі. Вастрыё цыркуля ставіцца ў кропку, якая пазначае цэнтр, і апісваецца круг.

Як бачыце, тут таксама няма нічога складанага, галоўнае, каб пад рукой заўсёды былі лінейка і цыркуль.

Цяпер вы ведаеце, як наносіць каардынаты фігур. На каардынатнай плоскасці гэта рабіць не так ужо і складана, як можа здацца на першы погляд.

высновы

Такім чынам, мы разгледзелі з вамі адно з найбольш цікавых і базавых для матэматыкі паняццяў, з якім даводзіцца сутыкацца кожнаму школьніку.

Мы з вамі высветлілі, што каардынатная плоскасць - гэта плоскасць, адукаваная перасячэннем двух восяў. З яе дапамогай можна задаваць каардынаты кропак, наносіць на яе фігуры. Плоскасць падзелена на чвэрці, кожная з якіх мае свае асаблівасці.

Асноўны навык, які варта выпрацаваць пры працы з каардынатнай плоскасцю, - уменне правільна наносіць на яе зададзеныя кропкі. Для гэтага варта ведаць правільнае размяшчэнне восяў, асаблівасці чвэрцяў, а таксама правілы, па якім задаюцца каардынаты кропак.

Спадзяемся, што выкладзеная намі інфармацыя была даступная і зразумелая, а таксама была карысная для вас і дапамагла лепш разабрацца ў гэтай тэме.