Як вылічаюць аб'ём піраміды?

Слова «піраміда» мімаволі асацыюецца з велічнымі волатамі ў Егіпце, дакладна якія захоўваюць спакой фараонаў. Можа быць таму піраміду як геаметрычную фігуру беспамылкова пазнаюць усе, нават дзеці.

Тым не менш, паспрабуем даць ёй геаметрычнае вызначэнне. Уявім на плоскасці некалькі кропак (А1, А2, ..., Ап) і яшчэ адну (Е), ня принадлежайшую ёй. Дык вось, калі кропку Е (вяршыню) злучыць з вяршынямі шматкутніка, адукаванага кропкамі А1, А2, ..., Ап (падстава), атрымаецца шматграннік, які і называюць пірамідай. Відавочна, што вяршыняў у шматкутніка ў падставе піраміды можа быць колькі заўгодна, і ў залежнасці ад іх колькасці піраміду можна назваць трохкутнай і чатырохкутнай, пяцікутнай і г.д.

Калі ўважліва прыгледзецца да піраміды, то стане ясна, чаму яе вызначаюць яшчэ і па-іншаму - як геаметрычную фігуру, якая мае ў падставе шматкутнік, а ў якасці бакавых граняў - трыкутнікі, аб'яднаныя агульнай вяршыняй.

Паколькі піраміда - прасторавая фігура, то і ў яе ёсць такая колькасная характарыстыка, як аб'ём. Аб'ём піраміды вылічаюць па добра вядомай формуле аб'ёму, роўнага траціны творы падставы піраміды на яе вышыню:

Аб'ём піраміды пры вывадзе формулы першапачаткова разлічваецца для трохкутнай, узяўшы за аснову сталыя суадносіны, якое злучае гэтую велічыню з аб'ёмам трохкутнай прызмы, якая мае той жа падстава і вышыню, якая, як аказваецца, у тры разы перавышае гэты аб'ём.

А паколькі любая піраміда разбіваецца на трохкутныя, і яе аб'ём не залежыць ад выкананых пры доказе пабудоў, правамернасць прыведзенай формулы аб'ёму - відавочная.

Асабняком сярод усіх пірамід стаяць правільныя, у якіх у падставе ляжыць правільны шматкутнік. Што ж тычыцца вышыні піраміды , то яна павінна «сканчацца» у цэнтры падставы.

У выпадку няправільнага шматкутніка ў падставе для вылічэння плошчы падставы спатрэбіцца:

• разбіць яго на трыкутнікі і квадраты;

• падлічыць плошча кожнага з іх;

• скласці атрыманыя дадзеныя.

У выпадку правільнага шматкутніка ў падставе піраміды, яго плошча разлічваюць па гатовых формулах, таму аб'ём правільнай піраміды вылічаецца зусім проста.

Напрыклад, каб вылічыць аб'ём чатырохкутнай піраміды, калі яна правільная, узводзяць даўжыню боку правільнага чатырохвугольніка (квадрата) у падставе ў квадрат і, памножыўшы на вышыню піраміды, дзеляць атрыманы твор на тры.

Аб'ём піраміды можна вылічыць, выкарыстоўваючы і іншыя параметры:

• як траціна творы радыуса шара, упісанага ў піраміду, на плошчу яе поўнай паверхні;

• як дзве траціны творы адлегласці паміж двума адвольна ўзятымі скрыжаванымі рэбрамі і плошчы паралелаграма, які ўтвараюць сярэдзіны пакінутых чатырох рэбраў.

Аб'ём піраміды вылічаецца проста і ў выпадку, калі яго вышыня супадае з адным з бакавых рэбраў, гэта значыць у выпадку прамавугольнай піраміды.

Кажучы пра піраміды, нельга абыйсці ўвагай таксама ўсечаныя піраміды, атрыманыя перасекам піраміды паралельнай падставы плоскасцю. Іх аб'ём практычна роўны рознасці аб'ёмаў цэлай піраміды і отсеченной вяршыні.

Першым аб'ём піраміды, сапраўды, не зусім у яго сучасным выглядзе, аднак роўным 1/3 аб'ёму вядомай нам прызмы, знайшоў Дэмакрыт. Яго метад падліку Архімед назваў «без доказы», паколькі Дэмакрыт падыходзіў да піраміды, як да постаці, складзенага з бясконца тонкіх, падобных пласцінак.

Да пытання знаходжання аб'ёму піраміды «звярнулася» і вектарная алгебра, выкарыстоўваючы для гэтага каардынаты яе вяршыняў. Піраміда, пабудаваная на тройцы вектараў a, b, c, роўная адной шостай ад модуля змешанага творы зададзеных вектараў.