АдукацыяСярэднюю адукацыю і школы

Правільны шматкутнік. Лік бакоў правільнага шматкутніка

Трохкутнік, квадрат, шасцікутнік - гэтыя фігуры вядомыя практычна ўсім. Але вось пра тое, што такое правільны шматкутнік, ведае далёка не кожны. А бо гэта ўсё тыя ж геаметрычныя фігуры. Правільным шматкутнік называюць той, што мае роўныя паміж сабой куты і бакі. Такіх фігур вельмі шмат, але ўсе яны маюць аднолькавыя ўласцівасці, і да іх дастасавальныя адны і тыя ж формулы.

Ўласцівасці правільных шматкутнікаў

Любы правільны шматкутнік, няхай гэта будзе квадрат або Октагон, можа быць ўпісаны ў акружнасць. Гэта асноўная ўласцівасць часта выкарыстоўваецца пры пабудове фігуры. Акрамя таго, акружнасць можна і ўпісаць у шматкутнік. Пры гэтым колькасць кропак судакранання будзе раўняцца колькасці яго бакоў. Немалаважна, што акружнасць, ўпісаная ў правільны шматкутнік, будзе мець з ім агульны цэнтр. Гэтыя геаметрычныя фігуры падпарадкаваныя адным тэарэмы. Любая бок правільнага n-кутніка звязаная з радыусам апісанай каля яго акружнасці R. Таму яе можна вылічыць, выкарыстоўваючы наступную формулу: а = 2R ∙ sin180 °. Праз радыус акружнасці можна знайсці не толькі боку, але і перыметр многавугольніка.

Як знайсці лік бакоў правільнага шматкутніка

Любы правільны n-кутнік складаецца з пэўнай колькасьці роўных адзін аднаму адрэзкаў, якія, злучаючыся, утвараюць замкнёную лінію. Пры гэтым усе куты ўтварылася фігуры маюць аднолькавае значэнне. Шматкутнікі дзеляцца на простыя і складаныя. Да першай групы ставяцца трохкутнік і квадрат. Складаныя шматкутнікі маюць большую колькасць бакоў. Да іх таксама адносяць зорчатыя фігуры. У складаных правільных шматкутнікаў боку знаходзяць шляхам вписывания іх у акружнасць. Прывядзём доказ. Накрэсліце правільны шматкутнік з адвольным лікам бакоў n. Апішыце вакол яго акружнасць. Задайце радыус R. Цяпер уявіце, што дадзены некаторы n-кутнік. Калі кропкі яго кутоў ляжаць на акружнасці і роўныя адзін аднаму, то бакі можна знайсці па формуле: a = 2R ∙ sinα: 2.

Знаходжанне колькасці бакоў упісанага правільнага трохвугольніка

Роўнабаковага трыкутніка - гэта правільны шматкутнік. Формулы да яго прымяняюцца тыя ж, што і да квадрата, і n-кутніку. Трохкутнік будзе лічыцца правільным, калі ў яго аднолькавыя па даўжыні боку. Пры гэтым куты роўныя 60⁰. Пабудуем трохкутнік з зададзенай даўжынёй бакоў а. Ведаючы яго медыяну і вышыню, можна знайсці значэнне яго бакоў. Для гэтага будзем выкарыстоўваць спосаб знаходжання праз формулу а = х: cosα, дзе х - медыяна або вышыня. Бо ўсе бакі трыкутніка роўныя, то атрымліваем а = у = с. Тады верным будзе наступнае сцвярджэнне а = у = з = х: cosα. Аналагічна можна знайсці значэнне бакоў у роўнабаковага трыкутніка, але х будзе зададзеная вышыня. Пры гэтым праецыявацца яна павінна строга на падставу фігуры. Такім чынам, ведаючы вышыню х, знойдзем бок а роўнабаковага трыкутніка па формуле а = у = х: cosα. Пасля знаходжання значэння а можна вылічыць даўжыню падставы с. Выкарыстоўваецца і ў дачыненні тэарэму Піфагора. Будзем шукаць значэнне паловы падставы c: 2 = √ (х: cosα) ^ 2 - (х ^ 2) = √x ^ 2 (1 - cos ^ 2α): cos ^ 2α = x ∙ tgα. Тады c = 2xtgα. Вось такім нескладаным спосабам можна знайсці лік бакоў любога упісанага шматкутніка.

Вылічэнне бакоў квадрата, упісанага ў акружнасць

Як і любы іншы упісаны правільны шматкутнік, квадрат мае роўныя боку і куты. Да яго прымяняюцца тыя ж формулы, што і да трохвугольніка. Вылічыць боку квадрата можна праз значэнне дыяганалі. Разгледзім гэты спосаб больш дэталёва. Вядома, што дыяганаль дзеліць кут папалам. Першапачаткова яго значэнне было 90 градусаў. Такім чынам, пасля дзялення ўтвараюцца два прастакутных трыкутніка. Іх куты пры падставе будуць роўныя 45 градусаў. Адпаведна кожны бок квадрата будзе роўная, то ёсць: а = у = з = д = е ∙ cosα = е√2: 2, дзе е - гэта дыяганаль квадрата, або падстава якое ўтварылася пасля дзялення прастакутнага трыкутніка. Гэта не адзіны спосаб знаходжання бакоў квадрата. Ўпішамся гэтую фігуру ў акружнасць. Ведаючы радыус гэтай акружнасці R, знойдзем бок квадрата. Будзем вылічаць яе наступным чынам a4 = R√2. Радыусы правільных шматкутнікаў вылічаюць па формуле R = а: 2tg (360 o: 2n), дзе а - даўжыня боку.

Як вылічыць перыметр n-кутніка

Перыметрам n-кутніка называюць суму ўсіх яго бакоў. Вылічыць яго нескладана. Для гэтага неабходна ведаць значэнні усіх бакоў. Для некаторых відаў шматкутнікаў існуюць спецыяльныя формулы. Яны дазваляюць знайсці перыметр нашмат хутчэй. Вядома, што любы правільны шматкутнік мае роўныя бакі. Таму для таго, каб вылічыць яго перыметр, дастаткова ведаць хаця б адну з іх. Формула будзе залежаць ад колькасці бакоў фігуры. Увогуле, яна выглядае так: Р = an, дзе а - значэнне боку, а n - колькасць кутоў. Напрыклад, каб знайсці перыметр правільнага васьмікутніка са бокам 3 см, неабходна памножыць яе на 8, гэта значыць Р = 3 ∙ 8 = 24 см. Для шасцікутнік са бокам 5 см вылічаем так: Р = 5 ∙ 6 = 30 см. І так для кожнага шматкутніка.

Знаходжанне перыметра паралелаграма, квадрата і ромба

У залежнасці ад таго, колькі бакоў мае правільны шматкутнік, вылічаецца яго перыметр. Гэта нашмат палягчае пастаўленую задачу. Бо ў адрозненне ад іншых фігур, у гэтым выпадку не трэба шукаць усе яго боку, досыць адной. Па гэтым жа прынцыпе знаходзім перыметр у чатырохвугольнікаў, то ёсць у квадрата і ромба. Нягледзячы на тое што гэта розныя фігуры, формула для іх адна Р = 4а, дзе а - бок. Прывядзём прыклад. Калі бок ромба або квадрата роўная 6 см, то знаходзім перыметр наступным чынам: Р = 4 ∙ 6 = 24 см. У паралелаграма роўныя толькі супрацьлеглыя бакі. Таму яго перыметр знаходзяць, выкарыстоўваючы іншы спосаб. Такім чынам, нам неабходна ведаць даўжыню а і шырыню ў фігуры. Затым ўжываем формулу Р = (а + в) ∙ 2. Паралелаграм, у якога роўныя ўсе бакі і куты паміж імі, называецца ромб.

Знаходжанне перыметра роўнабаковага і прастакутнага трыкутніка

Перыметр правільнага роўнабаковага трыкутніка можна знайсці па формуле Р = 3а, дзе а - даўжыня боку. Калі яна невядомая, яе можна знайсці праз медыяну. У прамавугольным трохвугольніку роўнае значэнне маюць толькі два бакі. Падстава можна знайсці праз тэарэму Піфагора. Пасля таго як стануць вядомыя значэнні ўсіх трох бакоў, вылічаем перыметр. Яго можна знайсці, ужываючы формулу Р = а + у + с, дзе а і ў - роўныя боку, а з - падстава. Нагадаем, што ў роўнабаковага трыкутніка а = у = а, значыць, а + у = 2а, тады Р = 2а + с. Напрыклад, бок роўнабаковага трыкутніка роўная 4 см, знойдзем яго падстава і перыметр. Вылічаем значэнне гіпатэнузы па тэарэме Піфагора з = √а 2 + у 2 = √16 + 16 = √32 = 5,65 см. Вылічым цяпер перыметр Р = 2 ∙ 4 + 5,65 = 13,65 см.

Як знайсці куты правільнага шматкутніка

Правільны шматкутнік сустракаецца ў нашым жыцці кожны дзень, напрыклад, звычайны квадрат, трохвугольнік, васьмікутнік. Здавалася б, няма нічога прасцей, чым пабудаваць гэтую фігуру самастойна. Але гэта проста толькі на першы погляд. Для таго каб пабудаваць любы n-кутнік, неабходна ведаць значэнне яго кутоў. Але як жа іх знайсці? Яшчэ навукоўцы старажытнасці спрабавалі пабудаваць правільныя шматкутнікі. Яны здагадаліся ўпісаць іх у акружнасці. А потым на ёй адзначалі неабходныя кропкі, злучалі іх прамымі лініямі. Для простых фігур праблема пабудовы была вырашана. Формулы і тэарэмы былі атрыманы. Напрыклад, Эўклід у сваім знакамітым працы «Пачатак» займаўся рашэннем задач для 3-, 4-, 5-, 6- і 15-кутнікаў. Ён знайшоў спосабы іх пабудовы і знаходжання кутоў. Разгледзім, як гэта зрабіць для 15-кутніка. Спачатку неабходна разлічыць суму яго ўнутраных кутоў. Неабходна выкарыстоўваць формулу S = 180⁰ (n-2). Такім чынам, нам дадзены 15-кутнік, значыць, лік n роўна 15. падстаўляюць вядомыя нам дадзеныя ў формулу і атрымліваем S = 180⁰ (15 - 2) = 180⁰ х 13 = 2340⁰. Мы знайшлі суму ўсіх ўнутраных кутоў 15-кутніка. Зараз неабходна атрымаць значэнне кожнага з іх. Усяго кутоў 15. Робім вылічэнне 2340⁰: 15 = 156⁰. Значыць, кожны ўнутраны кут роўны 156⁰, зараз пры дапамозе лінейкі і цыркуля можна пабудаваць правільны 15-кутнік. Але як быць з больш складанымі n-кутнікамі? Шмат стагоддзяў навукоўцы біліся над вырашэннем гэтай праблемы. Яно было знойдзена толькі толькі ў 18-м стагоддзі Карлам Фрыдрыхам Гаўса. Ён змог пабудаваць 65537-кутнік. З гэтых часоў праблема афіцыйна лічыцца цалкам вырашанай.

Разлік кутоў n-кутнікаў у радыянах

Вядома, ёсць некалькі спосабаў знаходжання кутоў шматкутнікаў. Часцей за ўсё іх вылічаюць ў градусах. Але можна выказаць іх і ў радыянах. Як гэта зрабіць? Неабходна дзейнічаць наступным чынам. Спачатку высвятляем лік бакоў правільнага шматкутніка, затым адымаем з яго 2. Значыць, мы атрымліваем значэнне: n - 2. Памножце знойдзеную рознасць на лік п ( «пі» = 3,14). Зараз застаецца толькі падзяліць атрыманы твор на лік кутоў у n-кутніка. Разгледзім дадзеныя вылічэнні на прыкладзе усё таго ж пятнадцатиугольника. Такім чынам, лік n роўна 15. Дастасуем формулу S = п (n - 2): n = 3,14 (15 - 2): 15 = 3,14 ∙ 13: 15 = 2,72. Гэта, вядома ж, не адзіны спосаб разлічыць кут у радыянах. Можна проста падзяліць памер кута ў градусах на лік 57,3. Бо менавіта столькі градусаў эквівалентна аднаму радыянах.

Разлік значэння кутоў у градах

Акрамя градусаў і радыян, значэнне кутоў правільнага шматкутніка можна паспрабаваць знайсці ў градах. Робіцца гэта наступным чынам. З агульнай колькасці кутоў адымаем 2, дзелім атрыманую рознасць на лік бакоў правільнага шматкутніка. Знойдзены вынік памнажаем на 200. Дарэчы сказаць, такая адзінка вымярэння кутоў, як грады, практычна не выкарыстоўваецца.

Разлік знешніх кутоў n-кутнікаў

У любога правільнага шматкутніка, акрамя ўнутранага, можна вылічыць яшчэ і знешні кут. Яго значэнне знаходзяць гэтак жа, як і для астатніх фігур. Такім чынам, каб знайсці вонкавы кут правільнага шматкутніка, неабходна ведаць значэнне ўнутранага. Далей, нам вядома, што сума гэтых двух кутоў заўсёды роўная 180 градусам. Таму вылічэнні робім наступным чынам: 180⁰ мінус значэнне ўнутранага кута. Знаходзім рознасць. Яна і будзе раўняцца значэнні сумежнага з ім кута. Напрыклад, унутраны кут квадрата роўны 90 градусаў, значыць, знешні будзе складаць 180⁰ - 90⁰ = 90⁰. Як мы бачым, знайсці яго нескладана. Знешні кут можа прымаць значэнне ад + 180⁰ да, адпаведна, -180⁰.

Similar articles

 

 

 

 

Trending Now

 

 

 

 

Newest

Copyright © 2018 be.birmiss.com. Theme powered by WordPress.