Вытворныя лікаў: метады вылічэння і прыклады

Напэўна, паняцце вытворнай знаёма кожнаму з нас яшчэ з школы. Звычайна ў вучняў ўзнікаюць цяжкасці з разуменнем гэтай, несумненна, вельмі важнай рэчы. Яна актыўна ўжываецца ў розных галінах жыцця людзей, і шматлікія інжынерныя распрацоўкі былі заснаваныя менавіта на матэматычных разліках, атрыманых з дапамогай вытворнай. Але перш чым перайсці да разбору таго, што ж такое вытворныя лікаў, як іх вылічаць і дзе яны нам спатрэбяцца, окунёмся трохі ў гісторыю.

гісторыя

Паняцце вытворнай, якое з'яўляецца асновай матэматычнага аналізу, было адкрыта (лепш нават сказаць "вынайдзена", таму што ў прыродзе яно як такое не існавала) Ісаакам Ньютанам, якога мы ўсе ведаем па адкрыцці закона сусветнага прыцягнення. Менавіта ён упершыню ўжыў у фізіцы гэта паняцце для звязвання прыроды хуткасці і паскарэння тэл. І многія навукоўцы да гэтага часу усхваляюць Ньютана за гэта цудоўнае вынаходніцтва, бо па сутнасці ён вынайшаў аснову дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння, фактычна аснову цэлай галіне матэматыкі пад назвай "матэматычны аналіз". Будзь у той час Нобелеўская прэмія, Ньютан з вялікай верагоднасцю атрымаў бы яе некалькі разоў.

Не абыйшлося і без іншых вялікіх розумаў. Акрамя Ньютана над развіццём вытворнай і інтэграла папрацавалі такія знакамітыя геніі матэматыкі, як Леанард Эйлер, Луі Лагранжа і Готфрыд Лейбніц. Менавіта дзякуючы ім мы атрымалі тэорыю дыферэнцыяльнага вылічэння ў такім выглядзе, у якім яна існуе па гэты дзень. Дарэчы, гэта Лейбніц адкрыў геаметрычны сэнс вытворнай, якая апынулася нічым іншым, як тангенсам кута нахілу датычнай да графіка функцыі.

Што ж такое вытворныя лікаў? Трохі паўторым тое, што праходзілі ў школе.

Што такое вытворная?

Вызначаць гэтае паняцце можна некалькімі рознымі спосабамі. Самае простае тлумачэнне: вытворная - гэта хуткасць змены функцыі. Уявім графік якой-небудзь функцыі y ад x. Калі гэта не прамая, то яна мае некаторыя выгібы ў графіку, перыяды ўзрастання і змяншэння. Калі браць які-небудзь бясконца малы прамежак гэтага графіка, ён будзе ўяўляць сабой адрэзак прамой. Дык вось, стаўленне памеру гэтага бясконца малога адрэзка па каардынаце y да памеру па каардынаце x і будзе з'яўляцца вытворнай дадзенай функцыі ў дадзенай кропцы. Калі разглядаць функцыю ў цэлым, а не ў канкрэтнай кропцы, то мы атрымаем функцыю вытворнай, то ёсць нейкую залежнасць Ігрэк ад ікс.

Да таго ж акрамя фізічнага сэнсу вытворнай як хуткасці змены функцыі ёсць яшчэ і геаметрычны сэнс. Пра яго мы цяпер і пагаворым.

геаметрычны сэнс

Вытворныя лікаў самі па сабе ўяўляюць сабой нейкае лік, якое без належнага разумення ня нясе ніякага сэнсу. Аказваецца, вытворная не толькі паказвае хуткасць росту або змяншэння функцыі, а таксама тангенс кута нахілу датычнай да графіка функцыі ў дадзенай кропцы. Не зусім зразумелая вызначэнне. Разбяром яго падрабязней. Дапусцім, у нас ёсць графік якой-небудзь функцыі (для цікавасці возьмем крывую). На ёй ёсць бясконцае мноства кропак, але ёсць такія вобласці, дзе толькі адна адзіная кропка мае максімум або мінімум. Праз любую такую кропку можна правесці прамую, якая была б перпендыкулярная графіку функцыі ў гэтай кропцы. Такая лінія будзе называцца датычнай. Дапусцім, мы правялі яе да перасячэння з воссю OX. Дык вось, атрыманы паміж датычнай і воссю OX кут і будзе вызначацца вытворнай. А дакладней, тангенс гэтага кута будзе раўняцца ёй.

Пагаворым крыху пра прыватных выпадках і разбяром вытворныя лікаў.

прыватныя выпадкі

Як мы ўжо казалі, вытворныя лікаў - гэта значэння вытворнай у канкрэтнай кропцы. Вось напрыклад, возьмем функцыю y = x ^2. Вытворная х - лік, а ў агульным выпадку - функцыя, роўная 2 * x. Калі нам неабходна вылічыць вытворную, скажам, у кропцы x ₀ = 1, то атрымліваем y '(1) = 2 * 1 = 2. Усё вельмі проста. Цікавы выпадак уяўляе вытворная комплекснага ліку. Ўдавацца ў падрабязнае тлумачэнне таго, што такое комплекснае лік, мы не будзем. Скажам толькі, што гэты лік, якое змяшчае ў сабе так званую ўяўную адзінку - лік, квадрат якога роўны -1. Вылічэнне такой вытворнай магчыма толькі пры наяўнасці наступных умоў:

1) Ці павінны існаваць прыватныя вытворныя першага парадку ад сапраўднай і ўяўнай часткі па Ігрэк і па ікс.

2) Выконваюцца ўмовы Кашы-Рыма, звязаныя з роўнасцю прыватных вытворных, апісаных у першым пункце.

Іншым цікавым выпадкам, хоць і не такім складаным як папярэдні, з'яўляецца вытворная адмоўнага ліку. На самай справе любое адмоўнае лік можна прадставіць як станоўчае, памножанае на -1. Ну а вытворная пастаяннай і функцыі роўная пастаяннай, памножанай на вытворную функцыі.

Цікава будзе даведацца пра ролю вытворнай у паўсядзённым жыцці, і менавіта гэта зараз і абмяркуем.

прымяненне

Напэўна, кожны з нас хоць раз у жыцці ловіць сябе на думцы, што матэматыка наўрад ці спатрэбіцца яму. А такая складаная штука, як вытворная, напэўна, наогул не мае прымянення. На самай справе, матэматыка - фундаментальная навука, і ўсе яе плён развівае ў асноўным фізіка, хімія, астраномія і нават эканоміка. Вытворная паклала пачатак матэматычнаму аналізу, які даў нам магчымасць рабіць высновы з графікаў функцый, і мы навучыліся інтэрпрэтаваць законы прыроды і звяртаць іх у сваю карысць дзякуючы яму.

заключэнне

Вядома, не кожнаму, магчыма, спатрэбіцца вытворная ў рэальным жыцці. Але матэматыка развівае логіку, якая ўжо сапраўды будзе патрэбна. Нездарма бо матэматыку называюць царыцай навук: з яе складваюцца асновы разумення іншых абласцей ведаў.