Дыферэнцыяльныя вылічэння функцыі адной і некалькіх зменных

Дыферэнцыяльнае падлік з'яўляецца раздзелам матэматычнага аналізу, які вывучае вытворную, дыферэнцыялы і іх выкарыстанне пры даследаванні функцыі.

Гісторыя з'яўлення

Дыферэнцыяльнае падлік выдзелілася ў самастойную дысцыпліну ў другой палове 17 стагоддзя, дзякуючы працам Ньютана і Лейбніца, якія сфармулявалі асноўныя палажэнні у вылічэнні дыферэнцыялаў і заўважылі сувязі паміж інтэграваннем і дыферэнцыявання. З таго моманту дысцыпліна развівалася разам з вылічэннем інтэгралаў, складаючы тым самым аснову матэматычнага аналізу. З'яўленне дадзеных вылічэнняў адкрыла новы сучасны перыяд у матэматычным свеце і выклікала ўзнікненне новых дысцыплін у навуцы. Таксама пашырыла магчымасць прымянення матэматычнай навукі ў прыродазнаўстве і тэхніцы.

асноўныя паняцці

Дыферэнцыяльнае падлік грунтуецца на фундаментальных паняццях матэматыкі. Імі з'яўляюцца: сапраўдны лік, бесперапыннасці, функцыя і мяжа. Праз час яны прынялі сучасны выгляд, дзякуючы інтэгральным і Дыферэнцыяльнае падлік.

працэс стварэння

Фарміраванне дыферэнцыяльнага вылічэння ў выглядзе прыкладнога, а затым і навуковага метаду адбылося перад узнікненнем філасофскай тэорыі, якую стварыў Мікалай Кузанскі. Яго працы лічацца эвалюцыйным развіццём з меркаванняў антычнай навукі. Нягледзячы на тое што сам філосаф матэматыкам не быў, яго ўклад у развіццё матэматычнай навукі бясспрэчны. Кузанскі адзін з першых сышоў ад разгляду арыфметыкі як максімальна дакладнай галіне навукі, паставіўшы матэматыку таго часу пад сумневы.

У антычных матэматыкаў універсальным крытэрыем была адзінка, у той час як філосаф прапанаваць у якасці новай меры бясконцасць наўзамен дакладнага ліку. У сувязі з гэтым Інвертуйце ўяўленне дакладнасці ў матэматычнай навуцы. Навуковае веданне, па яго прадстаўленні, дзеліцца на разумовая і інтэлектуальнае. Другое з'яўляецца больш дакладным, на думку вучонага, паколькі першае дае толькі прыблізны вынік.

ідэя

Асноўная ідэя і паняцце у дыферэнцыяльным вылічэнні звязаны з функцыяй ў малых ваколіцах пэўных кропак. Для гэтага неабходна стварыць матэматычны апарат для даследаванняў функцыі, паводзіны якой у малой наваколлі устаноўленых кропак блізка да паводзін мнагачлена або лінейнай функцыі. Заснавана гэта на вызначэнні вытворнай і дыферэнцыяла.

З'яўленне паняцця вытворнай было выклікана вялікім лік задач з натуральных навук і матэматыкі, якія прыводзілі да знаходжання значэнняў межаў аднаго тыпу.

Адной з асноўных задач, якія даюцца як прыклад, пачынаючы са старэйшых класаў школы, з'яўляецца вызначэнне хуткасці руху кропкі па прамой лініі і пабудова датычнай лініі да гэтай крывой. Дыферэнцыял звязаны з гэтым, паколькі ёсць магчымасць наблізіць функцыю ў малой наваколлі разгляданай кропкі лінейнай функцыі.

У параўнанні з паняццем вытворнай функцыі сапраўднай зменнай, вызначэнне дыферэнцыялаў проста пераходзіць на функцыю агульнай прыроды, у прыватнасці на малюнак аднаго эўклідавай прасторы на іншае.

вытворная

Хай кропка рухаецца па кірунку восі Оу, за час возьмем х, якое адлічваецца ад нейкага пачатку моманту. Апісаць такое перасоўванне можна па функцыі у = f (x), якая ставіцца ў адпаведнасць кожнаму часоваму моманту х каардынаты якая перамяшчаецца кропкі. Дадзеную функцыю ў механіцы прыняць клікаць законам руху. Асноўнай характарыстыкай руху, асабліва нераўнамернага, з'яўляецца імгненная хуткасць. Калі кропка перамяшчаецца па восі Оу згодна з законам механікі, то ў выпадковы часовай момант х яна набывае каардынату f (x). Ў часовай момант х + Δх, дзе Δх пазначае прырашчэнне часу, яе кордината будзе f (х + Δх). Так фармуецца формула Δy = f (х + Δх) - f (х), якую называюць прырашчэннем функцыі. Яна ўяўляе сабой пройдзены кропкай шлях за час ад трох да х + Δх.

У сувязі з узнікненнем гэтай хуткасці ў момант часу ўводзіцца вытворная. У адвольнай функцыі вытворную ў фіксаванай кропцы называюць мяжою (пры ўмове яе існавання). Пазначацца яна можа пэўнымі сімваламі:

f '(х), y', ý, df / dx, dy / dx, Df (x).

Працэс вылічэнні вытворнай называюць дыферэнцыявання.

Дыферэнцыяльнае падлік функцыі некалькіх зменных

Дадзены метад вылічэння ўжыюцца пры даследаванні функцыі з некалькімі зменнымі. Пры наяўнасці двух зменных х і у, прыватная вытворная па х у кропцы А завецца вытворнай гэтай функцыі па х з фіксаваным у.

Можа пазначацца наступнымі знакамі:

f '(x) (x, y), u' (x), ∂u / ∂x або ∂f (x, y) '/ ∂x.

неабходныя навыкі

Каб паспяхова вывучыць і ўмець вырашаць диффуры, патрабуюцца навыкі ў інтэграванні і дыферэнцыявання. Каб было лягчэй разабрацца ў дыферэнцыяльных раўнаннях, варта добра разумець тэму вытворнай і нявызначаны інтэграл. Таксама не перашкодзіць навучыцца шукаць вытворную ад няяўна зададзенай функцыі. Звязана гэта з тым, што ў працэсе вывучэння прыйдзецца часта выкарыстоўваць інтэгралы і дыферэнцыявання.

Тыпы дыферэнцыяльных раўнанняў

Практычна ва ўсіх кантрольных работах, звязаных з дыферэнцыяльнымі раўнаннямі першага парадку, існуе 3 выгляду раўнанняў: аднастайныя, з падзяляюць зменнымі, лінейныя неаднародныя.

Маюцца і больш рэдкія разнавіднасці раўнанняў: з поўнымі дыферэнцыяламі, ўраўненні Бярнулі і іншыя.

асновы рашэння

Для пачатку варта ўспомніць алгебраичные ўраўненні са школьнага курсу. У іх утрымліваюцца зменныя і лікі. Для вырашэння звычайнага раўнання варта знайсці мноства лікаў, якія задавальняюць зададзеным умове. Як правіла, такія ўраўненні мелі адны корань, і для праверкі правільнасці вынікала толькі падставіць гэта значэнне на месца невядомай.

Дыферэнцыяльнае раўнанне падобна з гэтым. У агульным выпадку такое раўнанне першага парадку ўключае:

• Незалежную зменную.
• Вытворную першай функцыі.
• Функцыю або залежную зменную.

У асобных выпадках можа адсутнічаць адна з невядомых, х ці у, аднак гэта не гэтак важна, бо неабходна наяўнасць першай вытворнай, без вытворных вышэйшых парадкаў, каб рашэнне і дыферэнцыяльнае падлік былі верныя.

Вырашыць дыферэнцыяльнае раўнанне - гэта значыць адшукаць мноства ўсіх функцый, падыходных зададзенаму выразу. Падобнае мностваў функцый часта называецца агульным рашэннем ДК.

інтэгральнае вылічэнне

Інтэгральнае вылічэнне з'яўляецца адным з раздзелаў матэматычнага аналізу, які вывучае паняцце інтэграла, ўласцівасці і метады яго вылічэнні.

Часцяком вылічэнне інтэграла сустракаецца пры вылічэнні плошчы крывалінейнай фігуры. Пад гэтай плошчай маецца на ўвазе мяжа, да якога імкнецца плошчу ўпісана ў зададзеную постаць шматкутніка з паступовым узрастаннем яго боку, пры гэтым дадзеныя бакі могуць быць выкананы менш усякага раней названага адвольнага малога значэння.

Галоўная ідэя ў вылічэнні плошчы адвольнай геаметрычнай фігуры складаецца у падліку плошчы прамавугольніка, то ёсць доказе, што яго плошча складае твору даўжыні на шырыню. Калі гаворка ідзе пра геаметрыі, то ўсе пабудовы вырабляюцца пры дапамозе лінейкі і цыркуля, і тады стаўленне даўжыні да шырыні з'яўляецца рацыянальным значэннем. Пры падліку плошчы прастакутнага трыкутніка можна вызначыць, што калі адкласці такі ж трохкутнік побач, то ўтворыцца прастакутнік. У паралелаграма плошчу падлічваецца падобным, але крыху больш за ўскладненым метадам, праз прастакутнік і трохкутнік. У шматкутнік плошчу лічаць праз што ў яго ўваходзяць трыкутнікі.

Пры вызначэнні пашкадуй адвольнай крывой дадзены метад не падыдзе. Калі разбіць яе на адзінкавыя квадраты, то застануцца незапоўненыя месцы. У гэтым выпадку спрабуюць выкарыстоўваць два пакрыцця, з прастакутнікамі зверху і знізу, у выніку тыя ўключаюць графік функцыі і не ўключаюць. Важным тут застаецца спосаб разбівання на гэтыя прастакутнікі. Таксама калі браць разбівання ўсё больш змяншаюцца, то плошча зверху і знізу павінна сысціся на пэўным значэнні.

Варта вярнуцца да спосабу падзелу на прастакутнікі. Маецца два папулярных метаду.

Риманом было фармалізавана вызначэнне інтэграла, створанае Лейбніцам і Ньютанам, як плошчы подграфика. У гэтым выпадку былі разгледжаны фігуры, якія складаюцца з некаторага колькасці вертыкальных прастакутнікаў і атрыманыя пры падзеле адрэзка. Калі пры памяншэнні разбівання маецца мяжа, да якога зводзіцца плошчу падобнай фігуры, гэты мяжа называюць інтэгралам Рымана функцыі на зададзеным адрэзку.

Другім метадам з'яўляецца пабудова інтэграла Лебега, якое складаецца ў тым, што за месца падзелу якая вызначаецца вобласці на часткі подынтегральная функцыі і складання затым інтэгральнай сумы з атрыманых значэнняў у гэтых частках, на інтэрвалы дзеліцца яе вобласць значэнняў, а пасля сумуецца з адпаведнымі мерамі правобразаў гэтых інтэгралаў.

сучасныя дапаможнікі

Адно з асноўных дапаможнікаў па вывучэнню дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння напісаў Фихтенгольц - "Курс дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння". Яго падручнік з'яўляецца фундаментальным дапаможнікам па вывучэнні матэматычнага аналізу, які вытрымаў шмат выданняў і перакладаў на іншыя мовы. Створаны для студэнтаў ВНУ і доўгі час прымяняецца ў мностве навучальных устаноў як адно з асноўных дапаможнікаў па вывучэнню. Дае тэарэтычныя дадзеныя і практычныя ўменні. Ўпершыню выдадзены ў 1948 годзе.

Алгарытм даследавання функцыі

Каб даследаваць метадамі дыферэнцыяльнага вылічэння функцыю, неабходна прытрымлівацца ўжо зададзенаму алгарытму:

1. Знайсці вобласць вызначэння функцыі.
2. Знайсці карані зададзенага ўраўненні.
3. Падлічыць Экстрэмуму. Для гэтага варта вылічыць вытворную і кропкі, дзе яна раўняецца нулю.
4. Падстаўляем атрыманае значэнне ў раўнанне.

Разнавіднасці дыферэнцыяльных раўнанняў

ДК першага парадку (інакш, дыферэнцыяльнае падлік адной зменнай) і іх віды:

• Раўнанне з падзяляюць зменнымі: f (y) dy = g (x) dx.
• Найпростыя ўраўненні, або дыферэнцыяльнае падлік функцыі адной зменнай, якія маюць формулу: y '= f (x).
• Лінейнае неаднароднае ДК першага парадку: y '+ P (x) y = Q (x).
• Дыферэнцыяльнае раўнанне Бярнулі: y '+ P (x) y = Q (x) ^y a.
• Ураўненне з поўнымі дыферэнцыяламі: P (x, y) dx + Q (x, y) dy = 0.

Дыферэнцыяльныя ўраўненні другога парадку і іх віды:

• Лінейнае аднастайнае дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку з пастаяннымі значэннямі каэфіцыента: ^y n + py '+ qy = 0 p, q належыць R.
• Лінейнае неаднароднае дыферэнцыяльнае раўнанне другога парадку з пастаянным значэннем каэфіцыентаў: ^y n + py '+ qy = f (x).
• Лінейнае аднастайнае дыферэнцыяльнае раўнанне: ^y n + p (x) y '+ q (x) y = 0, і неаднароднае раўнанне другога парадку: ^y n + p (x) y' + q (x) y = f (x).

Дыферэнцыяльныя ўраўненні вышэйшых парадкаў і іх віды:

• Дыферэнцыяльнае раўнанне, якія дапускаюць паніжэнне парадку: F (x, y ^(k), y ^{(k + 1),} .., y ⁽ⁿ⁾ = 0.
• Лінейнае раўнанне вышэйшага парадку аднастайнае: y ⁽ⁿ⁾ + f _(n-1) y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = 0, і неаднароднае: y ⁽ⁿ⁾ + f _{(n -1)} y ^(n-1) + ... + f ₁ y '+ f ₀ y = f (x).

Этапы вырашэння задачы з дыферэнцыяльным раўнаннем

З дапамогай ДК вырашаюцца не толькі матэматычныя або фізічныя пытанні, але і розныя праблемы з біялогіі, эканомікі, сацыялогіі і іншага. Нягледзячы на вялікую разнастайнасць тым, варта прытрымлівацца адзінай лагічнай паслядоўнасці пры вырашэнні падобных праблем:

1. Складанне ДК. Адзін з найбольш складаных этапаў, які патрабуе максімальны дакладнасці, паколькі любая памылка прывядзе да цалкам няслушным выніках. Варта ўлічваць усе фактары, якія ўплываюць на працэс, і вызначыць пачатковыя ўмовы. Таксама варта грунтавацца на фактах і лагічных высновах.
2. Рашэнне складзенага ўраўненні. Гэты працэс прасцей першага пункта, паколькі патрабуе толькі строгага выканання матэматычных падлікаў.
3. Аналіз і ацэнка атрыманых вынікаў. Выведзенае рашэнне варта ацаніць для ўстаноўкі практычнай і тэарэтычнай каштоўнасці выніку.

Прыклад выкарыстання дыферэнцыяльных раўнанняў у медыцыне

Выкарыстанне ДУ ў галіне медыцыны сустракаецца пры пабудове эпідэміялагічнай матэматычнай мадэлі. Пры гэтым не варта забываць, што дадзеныя ўраўненні таксама сустракаюцца ў біялогіі і хіміі, якія блізкія да медыцыны, таму што ў ёй немалаважную ролю адыгрывае даследаванне розных біялагічных папуляцый і хімічных працэсаў у целе чалавека.

У прыкладзе прыкладзе з эпідэміяй можна разглядаць распаўсюджванне інфекцыі ў ізаляваным грамадстве. Насельнікі падпадзяляюцца на тры выгляду:

• Інфікаваныя, колькасць x (t), якія складаліся з асобін, носьбітаў інфекцыі, кожны з якіх заразны (інкубацыйны перыяд кароткі).
• Другі выгляд ўключае адчувальных асобін y (t), здольных заразіцца пры кантактавання з інфіцыраванымі.
• Трэці выгляд ўключае ў сябе неўспрымальныя асобін z (t), якія маюць імунітэт або загінулі з-за хваробы.

Колькасць асобін пастаянна, ўлік нараджэння, натуральных смерцяў і міграцыі не ўлічваецца. У аснове будзе мецца дзве гіпотэзы.

Адсотак захворвання ў пэўны часовай момант складае x (t) y (t) (грунтуецца здагадка на тэорыі, што колькасць тых, хто захварэў прапарцыйна колькасці перасячэнняў паміж хворымі і успрымальнымі прадстаўнікамі, якое ў першым набліжэнні будзе прапарцыйна x (t) y (t)), у сувязі з гэтым колькасць тых, хто захварэў ўзрастае, а лік успрымальных памяншаецца з хуткасцю, якая вылічаецца па формуле ax (t) y (t) (a> 0).

Лік неўспрымальныя асобін, якія набылі імунітэт або загінулі, узрастае з хуткасцю, якая прапарцыйная колькасці тых, хто захварэў, bx (t) (b> 0).

У выніку можна скласці сістэму раўнанняў з улікам усіх трох паказчыкаў і на яе аснове зрабіць высновы.

Прыклад выкарыстання ў эканоміцы

Дыферэнцыяльнае падлік часта ўжываецца пры эканамічным аналізе. Асноўнай задачай у эканамічным аналізе лічыцца вывучэнне велічынь з эканомікі, якія запісаныя ў форму функцыі. Гэта выкарыстоўваецца пры вырашэнні задач накшталт змены даходу адразу пасля павелічэння падаткаў, уводу пошлін, змены выручкі кампаніі пры змене кошту прадукцыі, у якой прапорцыі можна замяніць выбыўшых работнікаў новым абсталяваннем. Каб вырашыць такія пытанні, патрабуецца пабудаваць функцыю сувязі з уваходных зменных, якія пасля вывучаюцца з дапамогай дыферэнцыяльнага вылічэння.

У эканамічнай сферы часта неабходна адшукаць найбольш аптымальныя паказчыкі: максімальную прадукцыйнасць працы, найвышэйшы даход, найменшыя выдаткі і іншае. Кожны такі паказчык з'яўляецца функцыяй з аднаго або некалькіх аргументаў. Да прыкладу, вытворчасць можна разгледзець як функцыю з выдаткі працы і капіталу. У сувязі з гэтым знаходжанне падыходнага значэння можна звесці да адшукання максімуму або мінімуму функцыі з адной або некалькіх зменных.

Такога роду задачы ствараюць клас экстрэмальных задач у эканамічнай галіне, для вырашэння якіх неабходна дыферэнцыяльнае падлік. Калі эканамічны паказчык патрабуецца мінімізаваць або максымізаваць як функцыю ад іншага паказчыка, то ў кропцы максімуму стаўленне прырашчэння функцыі да аргументаў будзе імкнуцца да нуля, калі прырашчэнне аргументу імкнецца да нулявога значэння. Інакш жа, калі падобнае стаўленне імкнецца да няма каму станоўчага або адмоўнага значэння, якая змешчана кропка не з'яўляецца прыдатнай, таму што пры павелічэнні або памяншэнні аргументу можна памяняць залежную велічыню ў неабходным напрамку. У тэрміналогіі дыферэнцыяльнага вылічэння гэта будзе значыць, што патрабаваным умовай для максімуму функцыі з'яўляецца нулявое значэнне яе вытворнай.

У эканоміцы нярэдка сустракаюцца задачы на знаходжанне экстрэмуму функцыі з некалькімі зменнымі, таму што эканамічныя паказчыкі складаюцца з многіх фактараў. Падобныя пытанні добра вывучаны ў тэорыі функцый некалькіх зменных, якая ўжывае метады дыферэнцыяльнага вылічэння. Падобныя задачы ўключаюць у сябе не толькі максимизируемые і минимизируемые функцыі, але і абмежаванні. Падобныя пытанні ставяцца да матэматычнаму праграмаванні, і вырашаюцца яны з дапамогай спецыяльна распрацаваных метадаў, таксама абапіраюцца на гэты раздзел навукі.

Сярод метадаў дыферэнцыяльнага вылічэння, якія выкарыстоўваюцца ў эканоміцы, важным раздзелам з'яўляецца лімітавы аналіз. У эканамічнай сферы гэты тэрмін абазначае сукупнасць прыёмаў даследаванні змяняных паказчыкаў і вынікаў пры змене аб'ёмаў стварэння, спажывання, грунтуючыся на аналізе іх гранічных паказчыкаў. Гранічным паказчыкам лічыцца вытворная або прыватныя вытворныя пры некалькіх зменных.

Дыферэнцыяльнае падлік некалькіх зменных - немалаважная тэма з вобласці матэматычнага аналізу. Для падрабязнага вывучэння можна выкарыстоўваць розныя навучальныя дапаможнікі для вышэйшых навучальных устаноў. Адно з найбольш вядомых стварыў Фихтенгольц - "Курс дыферэнцыяльнага і інтэгральнага вылічэння". Як відаць з назвы, для вырашэння дыферэнцыяльных раўнанняў немалое значэнне маюць навыкі ў працы з Інтэгралам. Калі мае месца дыферэнцыяльнае падлік функцыі адной зменнай, рашэнне становіцца прасцей. Хоць, трэба заўважыць, яно падпарадкоўваецца тым жа асноўным правілах. Каб на практыцы даследаваць функцыю дыферэнцыяльным падлікам, дастаткова прытрымлівацца ўжо наяўнаму алгарытме, які даецца ў старэйшых класах школы і толькі крыху ўскладняецца пры ўводзе новых зменных.