Лінейныя і аднастайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку. прыклады рашэння

Думаю, нам варта пачаць з гісторыі такога слаўнага матэматычнага інструмента як дыферэнцыяльныя ўраўненні. Як і ўсе дыферэнцыяльныя і інтэгральныя вылічэння, гэтыя ўраўненні былі вынайдзеныя Ньютанам ў канцы 17-га стагоддзя. Ён лічыў менавіта гэта сваё адкрыццё настолькі важным, што нават зашыфраваў пасланне, якое сёння можна перавесці прыкладна так: "Усе законы прыроды апісваюцца дыферэнцыяльнымі раўнаннямі". Гэта можа здацца перабольшаннем, але ўсё так і ёсць. Любы закон фізікі, хіміі, біялогіі можна апісаць гэтымі раўнаннямі.

Вялікі ўклад у развіццё і стварэнне тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў ўнеслі матэматыкі Эйлер і Лагранжа. Ужо ў 18-м стагоддзі яны адкрылі і развілі тое, што цяпер вывучаюць на старэйшых курсах універсітэтаў.

Новая вяха ў вывучэнні дыферэнцыяльных раўнанняў пачалася дзякуючы Анры Пуанкаре. Ён стварыў «якасную тэорыю дыферэнцыяльных раўнанняў», якая ў спалучэнні з тэорыяй функцый комплекснага пераменнага ўнесла значны ўклад у падмурак тапалогіі - навукі аб прасторы і яго ўласцівасці.

Што такое дыферэнцыяльныя ўраўненні?

Многія баяцца аднаго словазлучэння "дыферэнцыяльнае раўнанне". Аднак у гэтым артыкуле мы падрабязна выкажам ўсю сутнасць гэтага вельмі карыснага матэматычнага апарата, які на самай справе не так складзены, як здаецца з назвы. Для таго каб пачаць распавядаць пра дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку, варта спачатку пазнаёміцца з асноўнымі паняццямі, якія неад'емна звязаны з гэтым вызначэннем. І пачнем мы з дыферэнцыяла.

дыферэнцыял

Многія ведаюць гэта паняцце яшчэ са школы. Аднак усё ж спынімся на ім падрабязней. Уявіце сабе графік функцыі. Мы можам павялічыць яго да такой ступені, што любы яго адрэзак прыме выгляд прамой лініі. На ёй возьмем дзве кропкі, якія знаходзяцца бясконца блізка адзін да аднаго. Рознасць іх каардынатаў (x або y) будзе бясконца малой велічынёй. Яе і называюць дыферэнцыялам і абазначаюць знакамі dy (дыферэнцыял ад y) і dx (дыферэнцыял ад x). Вельмі важна разумець, што дыферэнцыял не з'яўляецца канчатковай велічынёй, і ў гэтым заключаецца яго сэнс і асноўная функцыя.

А цяпер неабходна разгледзець наступны элемент, які нам спатрэбіцца пры тлумачэнні паняцці дыферэнцыяльнага раўнання. Гэта - вытворная.

вытворная

Усе мы напэўна чулі ў школе і гэтае паняцце. Кажуць, што вытворная - гэта хуткасць росту або змяншэння функцыі. Аднак з гэтага вызначэння многае становіцца незразумелым. Паспрабуем растлумачыць вытворную праз дыферэнцыялы. Давайце вернемся да бясконца малому адрэзку функцыі з двума кропкамі, якія знаходзяцца на мінімальным адлегласці адзін ад аднаго. Але нават за гэтую адлегласць функцыя паспявае змяніцца на нейкую велічыню. І каб апісаць гэта змяненне і прыдумалі вытворную, якую інакш можна запісаць як стаўленне дыферэнцыялаў: f (x) '= df / dx.

Цяпер варта разгледзець асноўныя ўласцівасці вытворнай. Іх усяго тры:

1. Вытворную сумы або рознасці можна прадставіць як суму або рознасць вытворных: (a + b) '= a' + b 'і (ab)' = a'-b '.
2. Другая ўласцівасць звязана з памнажэннем. Вытворная творы - гэта сума твораў адной функцыі на вытворную іншы: (a * b) '= a' * b + a * b '.
3. Вытворную рознасці запісаць можна ў выглядзе наступнага роўнасці: (a / b) '= (a' * ba * b ') / b ^2.

Усе гэтыя ўласцівасці нам спатрэбяцца для знаходжання рашэнняў дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку.

Таксама бываюць прыватныя вытворныя. Дапусцім, у нас ёсць функцыя z, якая залежыць ад зменных x і y. Каб вылічыць прыватную вытворную гэтай функцыі, скажам, па x, нам неабходна прыняць зменную y за пастаянную і проста продифференцировать.

Інтэграл

Іншае важнае паняцце - інтэграл. Па сутнасці гэта прамая супрацьлегласць вытворнай. Інтэгралы бываюць некалькіх відаў, але для вырашэння найпростых дыферэнцыяльных раўнанняў нам спатрэбяцца самыя трывіяльныя неазначальныя інтэгралы.

Такім чынам, што такое інтэграл? Дапусцім, у нас ёсць некаторая залежнасць f ад x. Мы возьмем ад яе інтэграл і атрымаем функцыю F (x) (часта яе называюць первообразной), вытворная ад якой роўная першапачатковай функцыі. Такім чынам F (x) '= f (x). Адсюль вынікае таксама, што інтэграл ад вытворнай роўны першапачатковай функцыі.

Пры вырашэнні дыферэнцыяльных раўнанняў вельмі важна разумець сэнс і функцыю інтэграла, так як прыйдзецца вельмі часта іх браць для знаходжання рашэнні.

Ўраўненні бываюць рознымі ў залежнасці ад сваёй прыроды. У наступным раздзеле мы разгледзім віды дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку, а потым і навучымся іх вырашаць.

Класы дыферэнцыяльных раўнанняў

"Диффуры" дзеляцца па парадку вытворных, якія ўдзельнічаюць у іх. Такім чынам бывае першы, другі, трэці і больш парадак. Іх таксама можна падзяліць на некалькі класаў: звычайныя і ў прыватных вытворных.

У гэтым артыкуле мы разгледзім звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку. Прыклады і спосабы іх вырашэння мы таксама абмяркуем у наступных раздзелах. Будзем разглядаць толькі АДУ, таму што гэта самыя распаўсюджаныя віды раўнанняў. Звычайныя дзеляцца на падвіды: з падзяляюць зменнымі, аднастайныя і неаднародныя. Далей вы даведаецеся, чым яны адрозніваюцца адзін ад аднаго, і навучыцеся іх вырашаць.

Акрамя таго, гэтыя ўраўненні можна аб'ядноўваць, каб пасля ў нас атрымалася сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку. Такія сістэмы мы таксама разгледзім і навучымся вырашаць.

Чаму мы разглядаем толькі першы парадак? Таму што трэба пачынаць з простага, а апісаць усё, звязанае з дыферэнцыяльнымі раўнаннямі, у адным артыкуле проста немагчыма.

Ўраўненні з падзяляюць зменнымі

Гэта, мабыць, самыя простыя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку. Да іх ставяцца прыклады, якія можна запісаць так: y '= f (x) * f (y). Для вырашэння гэтага ўраўненні нам спатрэбіцца формула прадстаўлення вытворнай як адносіны дыферэнцыялаў: y '= dy / dx. З дапамогай яе атрымліваем такое раўнанне: dy / dx = f (x) * f (y). Цяпер мы можам звярнуцца да метаду рашэння стандартных прыкладаў: падзелім зменныя па частках, т. Е. Перанясемся ўсё з зменнай y ў частку, дзе знаходзіцца dy, і гэтак жа зробім з зменнай x. Атрымаем раўнанне выгляду: dy / f (y) = f (x) dx, якое вырашаецца ўзяццем інтэгралаў ад абедзвюх частак. Не варта забываць і пра канстанты, якую трэба ставіць пасля ўзяцця інтэграла.

Рашэнне любога "диффура" - гэта функцыя залежнасці x ад y (у нашым выпадку) або, калі прысутнічае колькасную ўмова, то адказ у выглядзе ліку. Разбяром на канкрэтным прыкладзе ўвесь ход рашэння:

y '= 2y * sin (x)

Пераносім зменныя ў розныя бакі:

dy / y = 2 * sin (x) dx

Цяпер бярэм інтэгралы. Усе іх можна знайсці ў спецыяльнай табліцы інтэгралаў. І атрымліваем:

ln (y) = -2 * cos (x) + C

Калі патрабуецца, мы можам выказаць "Ігрэк" як функцыю ад "ікс". Цяпер можна сказаць, што наша дыферэнцыяльнае раўнанне вырашана, калі не зададзена ўмова. Можа быць зададзена ўмова, напрыклад, y (п / 2) = e. Тады мы проста падстаўляем значэнне гэтых зменных у рашэнне і знаходзім значэнне сталай. У нашым прыкладзе яно роўна 1.

Аднастайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку

Зараз пераходзім да больш складанай часткі. Аднастайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку можна запісаць у агульным выглядзе так: y '= z (x, y). Варта заўважыць, што правая функцыя ад двух зменных аднастайная, і яе нельга падзяліць на дзве залежнасці: z ад x і z ад y. Праверыць, ці з'яўляецца раўнанне аднастайным ці не, досыць проста: мы робім замену x = k * x і y = k * y. Цяпер скарачаем ўсе k. Калі ўсе гэтыя літары скараціліся, значыць раўнанне аднастайнае і можна смела прыступаць да яго рашэння. Забягаючы наперад, скажам: прынцып рашэння гэтых прыкладаў таксама вельмі просты.

Нам трэба зрабіць замену: y = t (x) * x, дзе t - нейкая функцыя, якая таксама залежыць ад x. Тады мы можам выказаць вытворную: y '= t' (x) * x + t. Падстаўляючы ўсё гэта ў наш зыходнае раўнанне і спрашчаючы яго, мы атрымліваем прыклад з падзяляюць зменнымі t і x. Вырашаем яго і атрымліваем залежнасць t (x). Калі мы яе атрымалі, то проста падстаўляем у нашу папярэднюю замену y = t (x) * x. Тады атрымліваем залежнасць y ад x.

Каб было больш зразумела, разбяром прыклад: x * y '= yx * e ^{y / x.}

Пры праверцы з заменай ўсё скарачаецца. Значыць, раўнанне сапраўды аднастайнае. Цяпер робім іншую замену, пра якую мы гаварылі: y = t (x) * x і y '= t' (x) * x + t (x). Пасля спрашчэння атрымліваем наступнае раўнанне: t '(x) * x = -e ^t. Вырашаем атрыманы прыклад з падзеленымі зменнымі і атрымліваем: e ^-t = ln (C * x). Нам засталося толькі замяніць t на y / x (бо калі y = t * x, то t = y / x), і мы атрымліваем адказ: e ^{-y / x} = ln (x * С).

Лінейныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку

Прыйшоў час разгледзець яшчэ адну шырокую тэму. Мы разбяром неаднародныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку. Чым яны адрозніваюцца ад папярэдніх двух? Давайце разбярэмся. Лінейныя дыферэнцыяльныя ўраўненні першага парадку ў агульным выглядзе можна запісаць такім роўнасцю: y '+ g (x) * y = z (x). Варта ўдакладніць, што z (x) і g (x) могуць з'яўляцца сталымі велічынямі.

А цяпер прыклад: y '- y * x = x ^2.

Існуе два спосабу рашэння, і мы па парадку разбяром абодва. Першы - метад варыяцыі адвольных канстант.

Для таго каб вырашыць раўнанне гэтым спосабам, неабходна спачатку прыраўняць правую частку да нуля і вырашыць атрыманае раўнанне, якое пасля пераносу частак прыме выгляд:

y '= y * x;

dy / dx = y * x;

dy / y = xdx;

ln | y | = x ^2/2 + C;

y = e ^{x2 / 2} * У ^З = C ₁ * e ^{x2 / 2.}

Цяпер трэба замяніць канстанту C ₁ на функцыю v (x), якую нам трэба будзе знайсці.

y = v * e ^{x2 / 2.}

Правядзем замену вытворнай:

y '= v' * e ^{x2 / 2} -x * v * e ^{x2 / 2.}

І падставім гэтыя выразы ў зыходны раўнанне:

v '* e ^{x2 / 2} - x * v * e ^{x2 / 2} + x * v * e ^{x2 / 2} = x ^2.

Можна бачыць, што ў левай частцы скарачаюцца два складнікаў. Калі ў якім-то прыкладзе гэтага не адбылося, значыць вы нешта зрабілі не так. працягнем:

v '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

Цяпер вырашаем звычайнае раўнанне, у якім трэба падзяліць зменныя:

dv / dx = x ² / e ^{x2 / 2;}

dv = x ² * e ^{- x2 / 2} dx.

Каб дастаць інтэграл, нам прыйдзецца ўжыць тут інтэграванне па частках. Аднак гэта не тэма нашага артыкула. Калі вам цікава, вы можаце самастойна навучыцца выконваць такія дзеянні. Гэта не складана, і пры дастатковым навыку і ўважлівасці не адбірае шмат часу.

Звернемся да другога спосабу рашэння неаднародных раўнанняў: метадзе Бярнулі. Які падыход хутчэй і прасцей - вырашаць толькі вам.

Такім чынам, пры рашэнні раўнання гэтым метадам нам неабходна зрабіць замену: y = k * n. Тут k і n - некаторыя залежныя ад x функцыі. Тады вытворная будзе выглядаць так: y '= k' * n + k * n '. Падстаўляем абедзве замены ў раўнанне:

k '* n + k * n' + x * k * n = x ^2.

групуючы:

k '* n + k * (n' + x * n) = x ^2.

Цяпер трэба прыраўняць да нуля тое, што знаходзіцца ў дужках. Цяпер, калі аб'яднаць два атрыманых ўраўненні, атрымліваецца сістэма дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку, якую трэба вырашыць:

n '+ x * n = 0;

k '* n = x ^2.

Першае роўнасць вырашаем, як звычайнае раўнанне. Для гэтага трэба падзяліць зменныя:

dn / dx = x * v;

dn / n = xdx.

Бярэм інтэграл і атрымліваем: ln (n) = x ^2/2. Тады, калі выказаць n:

n = e ^{x2 / 2.}

Цяпер падстаўляем атрыманае роўнасць у другое раўнанне сістэмы:

k '* e ^{x2 / 2} = x ^2.

І преобразовывая, атрымліваем тое ж самае роўнасць, што і ў першым метадзе:

dk = x ² / e ^{x2 / 2.}

Мы таксама не будзем разбіраць далейшыя дзеянні. Варта сказаць, што спачатку рашэнне дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку выклікае істотныя цяжкасці. Аднак пры больш глыбокім апусканні ў тэму гэта пачынае атрымлівацца ўсё лепш і лепш.

Дзе выкарыстоўваюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні?

Вельмі актыўна дыферэнцыяльныя ўраўненні прымяняюцца ў фізіцы, так як амаль усе асноўныя законы запісваюцца ў дыферэнцыяльнай форме, а тыя формулы, якія мы бачым - вырашэнне гэтых раўнанняў. У хіміі яны выкарыстоўваюцца па той жа прычыне: асноўныя законы выводзяцца з іх дапамогай. У біялогіі дыферэнцыяльныя ўраўненні выкарыстоўваюцца для мадэлявання паводзін сістэм, напрыклад драпежнік - ахвяра. Яны таксама могуць выкарыстоўвацца для стварэння мадэляў размнажэння, скажам, калоніі мікраарганізмаў.

Як дыферэнцыяльныя ўраўненні дапамогуць у жыцці?

Адказ на гэтае пытанне просты: ніяк. Калі вы не вучоны або інжынер, то наўрад ці яны вам спатрэбяцца. Аднак для агульнага развіцця не перашкодзіць ведаць, што такое дыферэнцыяльнае раўнанне і як яно вырашаецца. І тады пытанне сына ці дачкі "што такое дыферэнцыяльнае раўнанне?" не паставіць вас у тупік. Ну а калі вы навуковец або інжынер, то і самі разумееце важнасць гэтай тэмы ў любой навуцы. Але самае галоўнае, што цяпер на пытанне "як вырашыць дыферэнцыяльнае раўнанне першага парадку?" вы заўсёды зможаце даць адказ. Пагадзіцеся, заўсёды прыемна, калі разумееш тое, у чым людзі нават баяцца разабрацца.

Асноўныя праблемы пры вывучэнні

Асноўнай праблемай у разуменні гэтай тэмы з'яўляецца дрэннай навык інтэгравання і дыферэнцыявання функцый. Калі вы дрэнна бераце вытворныя і інтэгралы, то, напэўна, варта яшчэ павучыцца, асвоіць розныя метады інтэгравання і дыферэнцыявання, і толькі потым прыступаць да вывучэння таго матэрыялу, што быў апісаны ў артыкуле.

Некаторыя людзі дзівяцца, калі даведаюцца, што dx можна пераносіць, бо раней (у школе) сцвярджалася, што дроб dy / dx непадзельная. Тут трэба пачытаць літаратуру па вытворнай і зразумець, што яна з'яўляецца стаўленнем бясконца малых велічынь, якімі можна маніпуляваць пры вырашэнні раўнанняў.

Многія не адразу ўсьведамляюць, што рашэнне дыферэнцыяльных раўнанняў першага парадку - гэта часцяком функцыя або неберущийся інтэграл, і гэта зман дастаўляе ім нямала клопатаў.

Што яшчэ можна вывучыць для лепшага разумення?

Лепш за ўсё пачаць далейшае паглыбленьне ў свет дыферэнцыяльнага вылічэння са спецыялізаваных падручнікаў, напрыклад, па матэматычнаму аналізу для студэнтаў нематематических спецыяльнасцяў. Затым можна пераходзіць і да больш спецыялізаванай літаратуры.

Варта сказаць, што, акрамя дыферэнцыяльных, ёсць яшчэ інтэгральныя ўраўненні, так што вам заўсёды будзе да чаго імкнуцца і што вывучаць.

заключэнне

Спадзяемся, што пасля чытання гэтага артыкула ў вас з'явілася прадстаўленне аб тым, што такое дыферэнцыяльныя ўраўненні і як іх правільна вырашаць.

У любым выпадку матэматыка якім-небудзь чынам спатрэбіцца нам у жыцці. Яна развівае логіку і ўвага, без якіх кожны чалавек як без рук.