Як знайсці боку прастакутнага трыкутніка? асновы геаметрыі

Катэты і гіпатэнуза - бакі прастакутнага трыкутніка. Першыя - гэта адрэзкі, якія прылягаюць да прамога куце, а гіпатэнуза з'яўляецца самай доўгай часткай фігуры і знаходзіцца насупраць вугла ў 90 ^а. Піфагоравы трохвугольнікам называецца той, бакі якога роўныя натуральным лікам; іх даўжыні ў такім выпадку маюць назву «піфагоравы тройка».

егіпецкі трыкутнік

Для таго каб цяперашняе пакаленне даведалася геаметрыю у тым выглядзе, у якім яе выкладаюць у школе зараз, яна развівалася некалькі стагоддзяў. Асноватворным момантам лічыцца тэарэма Піфагора. Боку прастакутнага трыкутніка (фігура вядомая на ўвесь свет) складаюць 3, 4, 5.

Мала хто не знаёмы з фразай «піфагоравы штаны ва ўсе бакі роўныя». Аднак на самай справе тэарэма гучыць так: c ² (квадрат гіпатэнузы) = a ² + b ² (сума квадратаў катэт).

Сярод матэматыкаў трохкутнік з бакамі 3, 4, 5 (гл, м і т. Д.) Называецца "егіпецкім". Цікава тое, што радыус акружнасці, якая ўпісана ў фігуру, раўняецца адзінцы. Назва паўстала прыкладна ў V стагоддзі да н.э., калі філосафы Грэцыі ездзілі ў Егіпет.

Пры пабудове пірамід архітэктары і Каморнікі карысталіся суадносінамі 3: 4: 5. Такія збудаванні атрымліваліся прапарцыйнымі, прыемнымі на выгляд і прасторнымі, а таксама рэдка бурыліся.

Для таго каб пабудаваць прамы кут, будаўнікі выкарысталі вяроўку, на якой было завязана 12 вузлоў. У такім выпадку верагоднасць пабудовы менавіта прастакутнага трыкутніка павышалася да 95%.

Прыкметы роўнасці фігур

• Востры кут у прастакутным трыкутніку і вялікая бок, якія роўныя тым жа элементам у другім трыкутніку, - бясспрэчны прыкмета роўнасці фігур. Беручы пад увагу суму кутоў, лёгка даказаць, што другія вострыя куты таксама роўныя. Такім чынам, трыкутнікі аднолькавыя па другім прыкмеце.
• Пры накладанні двух постацяў адзін на аднаго звернем іх такім чынам, каб яны, сумясціць, сталі адным роўнабаковага трыкутніка. Паводле яго ўласцівасці боку, а дакладней, гіпатэнузы, роўныя, гэтак жа як і куты пры падставе, а значыць, гэтыя постаці аднолькавыя.

Па першай прыкмеце вельмі проста даказаць тое, што трыкутнікі сапраўды роўныя, галоўнае, каб дзве меншыя боку (т. Е. Катэты) былі роўнымі паміж сабой.

Трыкутнікі будуць аднолькавымі па II прыкмеце, сутнасць якога заключаецца ў роўнасці катэта і вострага вугла.

Ўласцівасці трыкутніка з прамым вуглом

Вышыня, якую апусцілі з прамога кута, разбівае фігуру на дзве роўныя часткі.

Боку прастакутнага трыкутніка і яго медыяны лёгка пазнаць па правілу: медыяна, якая апушчаная на гіпатэнузу, роўная яе палове. Плошча фігуры можна знайсці як па формуле Герона, так і па сцвярджэнні, што яна роўная палове твору катэт.

У прамавугольным трохвугольніку дзейнічаюць ўласцівасці кутоў у 30 ^о, 45 ^аб і 60 ^аб.

• Пры вугле, які роўны 30 ^аб, варта памятаць, што процілеглы катэт будзе роўны 1/2 самай вялікай боку.
• Калі кут 45 ^о, значыць, другі востры кут таксама 45 ^а. Гэта сведчыць аб тым, што трохкутнік роўнабаковы, і яго катэты аднолькавыя.
• Ўласцівасць кута ў 60 ^аб заключаецца ў тым, што трэці кут мае градусную меру ў 30 ^а.

Плошчу лёгка пазнаць па адной з трох формул:

1. праз вышыню і бок, на якую яна апускаецца;
2. па формуле Герона;
3. па баках і куту паміж імі.

Боку прастакутнага трыкутніка, а дакладней катэты, сыходзяцца з двума вышынямі. Для таго каб знайсці трэцюю, неабходна разглядаць ўтварыўся трохкутнік, і тады па тэарэме Піфагора вылічыць неабходную даўжыню. Акрамя гэтай формулы існуе таксама суадносіны падвоенай плошчы і даўжыні гіпатэнузы. Найбольш распаўсюджаным выразам сярод вучняў з'яўляецца першае, так як патрабуе менш разлікаў.

Тэарэмы, якія прымяняюцца да прастакутнага трыкутніку

Геаметрыя прастакутнага трыкутніка ўключае ў сябе выкарыстанне такіх тэарэм, як:

1. Тэарэма Піфагора. Яе сутнасць заключаецца ў тым, што квадрат гіпатэнузы роўны суме квадратаў катэт. У эўклідавай геаметрыі дадзенае суадносіны з'яўляецца ключавым. Выкарыстоўваць формулу можна, калі дадзены трохкутнік, да прыкладу, SNH. SN - гіпатэнуза, і яе неабходна знайсці. Тады SN ² = NH ² + HS ^2.
2. Тэарэма косінус. Абагульняе тэарэму Піфагора: g ² = f ² + s ² -2fs * cos кута паміж імі. Напрыклад, дадзены трохкутнік DOB. Вядомыя катэт DB і гіпатэнуза DO, неабходна знайсці OB. Тады формула прымае гэты від: OB ² = DB ² + DO ² -2DB * DO * cos кута D. Існуе тры следства: кут трыкутніка будзе остроугольная, калі з сумы квадратаў двух бакоў адняць квадрат даўжыні трэцяй, атрыманы вынік павінен быць менш за нуль. Кут - тупоугольный, у тым выпадку, калі дадзенае выраз большай за нуль. Кут - прамой пры роўнасці нуля.
3. Тэарэма сінуса. Яна паказвае залежнасць бакоў да процілеглых кутоў. Іншымі словамі, гэта стаўленне даўжынь бакоў да сінуса процілеглых кутоў. У трохкутніку HFB, дзе гіпатэнузай з'яўляецца HF, будзе справядліва: HF / sin вугла B = FB / sin вугла H = HB / sin вугла F.