У якіх чвэрцях косінус станоўчы? У якіх чвэрцях сінус і косінус станоўчыя?

Пытанні, якія ўзнікаюць пры вывучэнні трыганаметрычных функцый, разнастайныя. Некаторыя з іх - пра тое, у якіх чвэрцях косінус станоўчы і адмоўны, у якіх чвэрцях сінус станоўчы і адмоўны. Усе аказваецца проста, калі ведаеш, як вылічыць значэнне дадзеных функцый у розных кутах і знаёмы з прынцыпам пабудовы функцый на графіцы.

Якія значэння косінуса

Калі разглядаць прастакутны трыкутнік, то мы маем наступнае суадносіны бакоў, якое яго вызначае: косінусам кута а з'яўляецца стаўленне прылеглага катэта нд да гіпатэнузы АВ (мал. 1): cos a = нд / АВ.

З дапамогай гэтага ж трыкутніка можна знайсці сінус кута, тангенс і катангенс. Сінусам будзе суадносіны супрацьлеглага да кута катэта АС да гіпатэнузы АВ. Тангенс кута знаходзіцца, калі сінус шуканага кута падзяліць на косінус таго ж вугла; падставіўшы адпаведныя формулы знаходжання сінуса і косінуса, атрымаем, што tg a = АС / ВС. Катангенс, як зваротная да тангенс функцыя, будзе знаходзіцца так: ctg a = нд / АС.

Гэта значыць, пры аднолькавых значэннях кута выявілася, што ў прастакутным трыкутніку суадносіны бакоў заўсёды аднолькавае. Здавалася б, стала ясна, адкуль гэтыя значэння, але чаму атрымліваюцца адмоўныя лікі?

Для гэтага трэба разглядаць трохкутнік у декартовой сістэме каардынатаў, дзе прысутнічаюць як станоўчыя, так і адмоўныя значэння.

Наглядна пра чвэрці, дзе якая

Што такое декартовых каардынаты? Калі казаць пра двухмернай прасторы, мы маем дзве накіраваныя прамыя, якія перасякаюцца ў кропцы Аб - гэта вось абсцыс (Ох) і вось ардынат (Оу). Ад кропкі Аб ў напрамку прамой размяшчаюцца станоўчыя колькасці, а ў адваротны бок - адмоўныя. Ад гэтага, у канчатковым выніку, наўпрост залежыць, у якіх чвэрцях косінус станоўчы, а ў якіх, адпаведна, адмоўны.

першая чвэрць

Калі размясціць прастакутны трыкутнік ў першай чвэрці (ад 0 ^аб да 90 ^о), дзе вось х і ў маюць станоўчыя значэння (адрэзкі АТ і ВА ляжаць на восях там, дзе значэнні маюць знак "+"), то што сінус, што косінус таксама будуць мець станоўчыя значэння, і ім прысвоена значэнне са знакам «плюс». Але што адбываецца, калі перамясціць трохкутнік у другую чвэрць (ад 90 ^аб да 180 ^о)?

другая чвэрць

Бачым, што па восі ў катэт АТ атрымаў адмоўнае значэнне. Косінус кута a цяпер мае ў суадносінах гэты бок з мінусам, таму і выніковае яго значэнне становіцца адмоўным. Выходзіць, што тое, у якой чвэрці косінус станоўчы, залежыць ад размяшчэння трыкутніка ў сістэме декартовых каардынатаў. І ў гэтым выпадку косінус кута атрымлівае адмоўнае значэнне. А вось для сінуса нічога не змянілася, бо для вызначэння яго знака патрэбна бок ОВ, якая засталася ў дадзеным выпадку са знакам плюс. Падвядзем вынік па першых двух чвэрцях.

Каб высветліць, у якіх чвэрцях косінус станоўчы, а ў якіх адмоўны (а таксама сінус і іншыя трыганаметрычныя функцыі), неабходна глядзець на тое, які знак прысвоены таму ці іншаму катэты. Для косінуса кута a важны катэт АТ, для сінуса - ОВ.

Першая чвэрць пакуль што стала адзінай, якая адказвае на пытанне: «У якіх чвэрцях сінус і косінус станоўчы адначасова?». Паглядзім далей, ці будуць яшчэ супадзення па знаку гэтых двух функцый.

У другой чвэрці катэт АТ стаў мець адмоўнае значэнне, а значыць і косінус стаў адмоўным. Для сінуса захавана станоўчае значэнне.

трэцяя чвэрць

Зараз абодва катэта АТ і ОВ сталі адмоўнымі. Успомнім суадносін для косінуса і сінуса:

Cos a = АТ / АВ;

Sin a = ВА / АВ.

АВ заўсёды мае станоўчы знак у дадзенай сістэме каардынатаў, бо не накіравана ні ў адну з двух пэўных восямі бакоў. А вось катэты сталі адмоўнымі, а значыць і вынік для абодвух функцый таксама адмоўны, бо калі вырабляць аперацыі множання або дзялення з лікамі, сярод якіх адно і толькі адно мае знак «мінус», то вынік таксама будзе з гэтым знакам.

Вынік на дадзеным этапе:

1) У якой чвэрці косінус станоўчы? У першай з трох.

2) У якой чвэрці сінус станоўчы? У першай і другой з трох.

Чацвёртая чвэрць (ад 270 ^аб да 360 ^о)

Тут катэт АТ зноў набывае знак «плюс», а значыць і косінус таксама.

Для сінуса справы ўсё яшчэ «адмоўныя», бо катэт ОВ застаўся ніжэй пачатковай кропкі О.

высновы

Для таго каб разумець, у якіх чвэрцях косінус станоўчы, адмоўны і г.д., трэба запомніць суадносіны для вылічэнні косінуса: прылеглы да кута катэт, дзелены на гіпатэнузу. Некаторыя настаўнікі прапануюць запомніць так: да (осинус) = (к) куце. Калі запомніць гэты «чыць», то аўтаматычна разумееш, што сінус - гэта стаўленне супрацьлеглага да кута катэта да гіпатэнузы.

Запомніць, у якіх чвэрцях косінус станоўчы, а ў якіх адмоўны, даволі складана. Трыганаметрычных функцый шмат, і ўсе яны маюць свае значэння. Але ўсё ж, як вынік: станоўчыя значэння для сінуса - 1, 2 чвэрці (ад 0 ^аб да 180 ^о); для косінуса 1, 4 чвэрці (ад 0 ^аб да 90 ^аб і ад 270 ^аб да 360 ^о). У астатніх чвэрцях функцыі маюць значэння з мінусам.

Магчыма, камусьці будзе лягчэй запомніць, дзе які знак, па малюнку функцыі.

Для сінуса відаць, што ад нуля да 180 ^аб грэбень знаходзіцца над лініяй значэнняў sin (x), значыць і функцыя тут дадатная. Для косінуса гэтак жа: у якой чвэрці косінус станоўчы (фота 7), а ў якой адмоўны бачна па перамяшчэнню лініі над і пад воссю cos (x). Як вынік, мы можам запомніць два спосабу вызначэння знака функцый сінус, косінус:

1. Па ўяўнага крузе з радыусам роўным адзінцы (хоць, на самай справе, не важна, які радыус ў круга, але ў падручніках часцей за ўсё прыводзяць менавіта такі прыклад; гэта палягчае ўспрыманне, але ў той жа час, калі не абмовіцца, што гэта гэта ня важна, дзеці могуць заблытацца).

2. Па выяве залежнасці функцыі па (х) ад самога аргументу х, як на апошнім малюнку.

З дапамогай першага спосабу можна ЗРАЗУМЕЦЬ, ад чаго менавіта залежыць знак, і мы падрабязна патлумачылі гэта вышэй. Малюнак 7, пабудаваны па гэтых дадзеных, як нельга лепш візуалізуе атрыманую функцыю і яе знакопринадлежность.