Тэорыя лікаў: тэорыя і практыка

Існуе некалькі азначэнняў паняцця "тэорыя лікаў». Адно з іх абвяшчае, што гэта спецыяльны раздзел матэматыкі (або вышэйшай арыфметыкі), якая падрабязна вывучае цэлыя лікі і аб'екты, падобныя з імі.

Іншае вызначэнне ўдакладняе, што гэты раздзел матэматыкі вывучае ўласцівасці лікаў і іх паводзіны ў розных сітуацыях.

Некаторыя навукоўцы лічаць, што тэорыя настолькі шырокая, што даць яе дакладнае вызначэнне немагчыма, а дастаткова толькі падзяліць на некалькі менш аб'ёмных тэорый.

Ўсталяваць дакладна, калі зарадзілася тэорыя лікаў, не ўяўляецца магчымым. Аднак дакладна ўстаноўлена: на сёння найстаражытным, але не адзіным дакументам, які сведчыць пра цікавасць старажытных да тэорыі лікаў, з'яўляецца невялікі абломак глінянай таблічкі 1800 гадоў да нашай эры. У ім - цэлы шэраг так званых піфагоравы троек (натуральных лікаў), многія з якіх складаюцца з пяці знакаў. Вялікая колькасць такіх троек выключае яго механічны падбор. Гэта сведчыць аб тым, што цікавасць да тэорыі лікаў узнік, відавочна, нашмат раней, чым першапачаткова меркавалі навукоўцы.

Самымі прыкметнымі асобамі ў распрацоўцы тэорыі лічацца піфагарэйцы Еўклід і Диофант, якія жылі ў сярэднявеччы індыйцы Ариабхата, Брахмагупта і Бхаскары, а яшчэ пазней - Ферма, Эйлера, Лагранжа.

У пачатку ХХ стагоддзя тэорыя лікаў прыцягнула ўвагу такіх матэматычных геніяў, як А. Н. Коркіна, Е. І. Золотарев, А. А. Маркаў, Б. Н. Делоне, Д. К. Тадэвуша, І. М. Вінаградаў, Г .Вейль, А. Сельберг.

Распрацоўваючы і паглыбляючы выкладкі і даследаванні старажытных матэматыкаў, яны вывелі тэорыю на новы, значна больш высокі ўзровень, які ахоплівае мноства абласцей. Глыбокія даследаванні і пошукі новых доказаў прывялі і да адкрыцця новых праблем, некаторыя з якіх не вывучаныя да гэтага часу. Адкрытымі застаюцца: гіпотэза Артина аб бясконцасці мноства простых лікаў, пытанне аб бясконцасці колькасці простых лікаў, мноства іншых тэорый.

На сёння асноўнымі складнікамі, на якія дзеліцца тэорыя лікаў, з'яўляюцца тэорыі: элементарная, вялікіх лікаў, выпадковых лікаў, аналітычная, алгебраічная.

Элементарная тэорыя лікаў займаецца вывучэннем цэлых лікаў, не прыцягваючы метады і паняцці з іншых раздзелаў матэматыкі. Лікі Фібаначы, малая тэарэма Ферма, - вось самыя распаўсюджаныя, вядомыя нават школьнікам паняцці з гэтай тэорыі.

Тэорыя вялікіх лікаў (або Закон вялікіх лікаў) - падраздзел тэорыі верагоднасцяў, які імкнецца даказаць, што сярэдняе арыфметычнае (па іншаму - сярэдняе эмпірычнае) вялікі выбаркі набліжаецца да матэматычнаму чаканню (якое яшчэ называюць тэарэтычным сярэднім) гэтай выбаркі пры ўмове фіксаванага размеркавання.

Тэорыя выпадковых лікаў, падзяляючы ўсе падзеі на нявызначаныя, дэтэрмінаваных і выпадковыя, спрабуе вызначыць па верагоднасці простых падзей верагоднасць складаных. У гэты раздзел уваходзяць ўласцівасці умоўных верагоднасцяў і тэарэма іх множання, Тэарэма гіпотэз (якую часта называюць формулай Байеса) і інш.

Аналітычная тэорыя лікаў, як гэта зразумела з яе назвы, для вывучэння матэматычных велічынь і лікавых уласцівасцяў прымяняе метады і прыёмы матэматычнага аналізу. Адно з галоўных напрамкаў гэтай тэорыі - доказ тэарэмы (пры дапамозе комплекснага аналізу) аб размеркаванні простых лікаў.

Алгебраічная тэорыя лікаў працуе непасрэдна з лікамі, іх аналагамі (напрыклад, алгебраічнымі лікамі), вывучае тэорыю дивизоров, когомологии груп, функцыі Дирихле і да т.п.

Да з'яўлення і развіццю гэтай тэорыі прывялі шматвяковыя спробы даказаць тэарэму Ферма.

Да ХХ стагоддзя тэорыя лікаў лічылася адцягненай навукай, "чыстым мастацтвам ад матэматыкі", якія не маюць абсалютна ніякага практычнага або ўтылітарнага прымянення. Сёння яе выкладкі выкарыстоўваюць у крыптаграфічных пратаколах, пры разліку траекторый спадарожнікаў і касмічных зондаў, у праграмаванні. Эканоміка, фінансы, інфарматыка, геалогія - усе гэтыя навукі сёння немагчымыя без тэорыі лікаў.