Дыферэнцыялы - гэта што такое? Як знайсці дыферэнцыял функцыі?

Разам з вытворнымі функцый іх дыферэнцыялы - гэта адны з базавых паняццяў дыферэнцыяльнага вылічэння, асноўнага падзелу матэматычнага аналізу. З'яўляючыся непарыўна звязанымі паміж сабой, абодва яны ўжо некалькі стагоддзяў актыўна выкарыстоўваюцца пры рашэнні практычна ўсіх задач, якія ўзнікалі ў працэсе навукова-тэхнічнай дзейнасці чалавека.

Узнікненне паняцця аб дыферэнцыяле

Упершыню растлумачыў, што такое дыферэнцыял, адзін са стваральнікаў (разам зь Ісаакам Ньютанам) дыферэнцыяльнага вылічэння знакаміты нямецкі матэматык Готфрыд Вільгельм Лейбніц. Да гэтага матэматыкамі 17 ст. выкарыстоўвалася вельмі недакладнае і расплывістае ўяўленне аб некаторай бясконца малой «непадзельнай» часткі любой вядомай функцыі, якая ўяўляла вельмі малую пастаянную велічыню, але не роўную нулю, менш якой значэння функцыі быць проста не могуць. Адсюль быў усяго адзін крок да ўвядзення ўяўленні аб бясконца малых прырашчэннем аргументаў функцый і адпаведных ім прырашчэннем саміх функцый, выказваю праз вытворныя апошніх. І гэты крок быў зроблены практычна адначасова двума вышэйзгаданымі вялікімі навукоўцамі.

Зыходзячы з неабходнасці вырашэння надзённых практычных задач механікі, якія ставіла перад навукай, якая бурна развіваецца прамысловасць і тэхніка, Ньютан і Лейбніц стварылі агульныя спосабы знаходжання хуткасці змены функцый (перш за ўсё ў дачыненні да механічнай хуткасці руху цела па вядомай траекторыі), што прывяло да ўвядзення такіх паняццяў, як вытворная і дыферэнцыял функцыі, а таксама знайшлі алгарытм рашэння зваротнай задачы, як па вядомай (зменнай) хуткасці знайсці пройдзены шлях, што прывяло да з'яўлення паняцці інтэграцыі ала.

У працах Лейбніца і Ньютана ўпершыню з'явілася ўяўленне пра тое, што дыферэнцыялы - гэта прапарцыйныя прырашчэннем аргументаў Δх асноўныя часткі прырашчэння функцый Δу, якія могуць быць з поспехам ужытыя для вылічэнні значэнняў апошніх. Інакш кажучы, імі было адкрыта, што прырашчэнне функцыі можа быць у любым пункце (унутры вобласці яе вызначэння) выказана праз яе вытворную як Δу = y '(x) Δх + αΔх, дзе α Δх - рэшткавы член, які імкнецца да нуля пры Δх → 0, значна хутчэй, чым само Δх.

Згодна з заснавальнікам матанализа, дыферэнцыялы - гэта якраз і ёсць першыя члены ў выразах прырашчэння любых функцый. Яшчэ не валодаючы выразна сфармуляваным паняццем мяжы паслядоўнасцяў, яны інтуітыўна зразумелі, што велічыня дыферэнцыяла імкнецца да вытворнай функцыі пры Δх → 0 - Δу / Δх → y '(x).

У адрозненне ад Ньютана, які быў перш за ўсё фізікам, і разглядаў матэматычны апарат як дапаможны інструмент даследаванні фізічных задач, Лейбніц надаваў большую ўвагу самому гэтаму інструментару, уключаючы і сістэму наглядных і зразумелых пазначэнняў матэматычных велічынь. Менавіта ён прапанаваў агульнапрынятыя абазначэння дыферэнцыялаў функцыі dy = y '(x) dx, аргументу dx і вытворнай функцыі ў выглядзе іх адносіны y' (x) = dy / dx.

сучаснае вызначэнне

Што такое дыферэнцыял з пункту гледжання сучаснай матэматыкі? Ён цесна звязаны з паняццем прырашчэння зменнай велічыні. Калі зменная y прымае спачатку значэнне y = y _1, а затым y = y _2, то рознасць y ₂ ─ y ₁ называўся прырашчэннем велічыні y. Прырашчэнне можа быць станоўчым. адмоўным і роўным нулю. Слова «прырашчэнне» пазначаецца Δ, запіс Δу (чытаецца «дэльта Ігрэк») пазначае прырашчэнне велічыні y. так што Δу = y ₂ ─ y _1.

Калі велічыню Δу адвольнай функцыі y = f (x) магчыма прадставіць у выглядзе Δу = A Δх + α, дзе ў A няма залежнасці ад Δх, т. Е. A = const пры дадзеным х, а складнік α пры Δх → 0 імкнецца да яго ж яшчэ хутчэй, чым само Δх, тады першы ( «галоўны») чалец, прапарцыйны Δх, і з'яўляецца для y = f (x) дыферэнцыялам, якія абазначаюць dy або df (x) (чытаецца «дэ Ігрэк», «дэ эф ад ікс"). Таму дыферэнцыялы - гэта «галоўныя» лінейныя адносна Δх складнікі прырашчэння функцый.

Механічны тлумачэньне

Хай s = f (t) - адлегласць прамалінейна рухаецца матэрыяльнага пункта ад пачатковага становішча (t - час знаходжання ў дарозе). Прырашчэнне Δs - гэта шлях кропкі за інтэрвал часу Δt, а дыферэнцыял ds = f '(t) Δt - гэта шлях, які кропка прайшла б за той жа час Δt, калі б яна захавала хуткасць f' (t), дасягнутую да моманту t . Пры бясконца малым Δt уяўны шлях ds адрозніваецца ад сапраўднага Δs на бясконца малую велічыню, якая мае вышэйшы парадак адносна Δt. Калі хуткасць у момант t не роўная нулю, то ds дае набліжаную велічыню малога зрушэння кропкі.

геаметрычная інтэрпрэтацыя

Хай лінія L з'яўляецца графікам y = f (x). Тады Δ х = MQ, Δу = QM '(гл. Малюнак ніжэй). Датычная MN разбівае адрэзак Δу на дзве часткі, QN і NM '. Першая прапарцыйная Δх і роўная QN = MQ ∙ tg (кута QMN) = Δх f '(x), т. Е QN ёсць дыферэнцыял dy.

Другая частка NM'дает рознасць Δу ─ dy, пры Δх → 0 даўжыня NM 'памяншаецца яшчэ хутчэй, чым прырашчэнне аргументу, т.е ў яе парадак драбніцы вышэй, чым у Δх. У разгляданым выпадку, пры f '(x) ≠ 0 (датычная ня раўналежная ОХ), адрэзкі QM'и QN эквівалентныя; іншымі словамі NM 'памяншаецца хутчэй (парадак драбніцы яе вышэй), чым поўнае прырашчэнне Δу = QM'. Гэта відаць на малюнку (з набліжэннем M'к М адрэзак NM'составляет ўсё меншы адсотак адрэзка QM ').

Такім чынам, графічна дыферэнцыял адвольнай функцыі роўны велічыні прырашчэння ардынаты яе датычнай.

Вытворная і дыферэнцыял

Каэфіцыент A ў першым складальнікам выразы прырашчэння функцыі роўны велічыні яе вытворнай f '(x). Такім чынам, мае месца наступнае суадносіны - dy = f '(x) Δх, ці ж df (x) = f' (x) Δх.

Вядома, што прырашчэнне незалежнага аргументу роўна яго дыферэнцыялы Δх = dx. Адпаведна, можна напісаць: f '(x) dx = dy.

Знаходжанне (часам кажуць, «рашэнне») дыферэнцыялаў выконваецца па тых жа правілах, што і для вытворных. Пералік іх прыведзены ніжэй.

Што больш універсальна: прырашчэнне аргументу або яго дыферэнцыял

Тут неабходна зрабіць некаторыя тлумачэнні. Прадстаўленне велічынёй f '(x) Δх дыферэнцыяла магчыма пры разглядзе х у якасці аргументу. Але функцыя можа быць складанай, у якой х можа быць функцыяй некаторага аргументу t. Тады ўяўленне дыферэнцыяла выразам f '(x) Δх, як правіла, немагчыма; акрамя выпадку лінейнай залежнасці х = at + b.

Што ж тычыцца формулы f '(x) dx = dy, то і ў выпадку незалежнага аргументу х (тады dx = Δх), і ў выпадку параметрычнай залежнасці х ад t, яна ўяўляе дыферэнцыял.

Напрыклад, выраз 2 x Δх ўяўляе для y = x ² яе дыферэнцыял, калі х ёсць аргумент. Але няхай будзе цяпер х = t ² і будзем лічыць t аргументам. Тады y = x ² = t ^4.

Далей варта (t + Δt) ² = t ² + 2tΔt + Δt ^2. Адсюль Δх = 2tΔt + Δt ^2. Значыць: 2xΔх = 2t ² (2tΔt + Δt ^2).

Гэты выраз не прапарцыйна Δt і таму цяпер 2xΔх не з'яўляецца дыферэнцыялам. Яго можна знайсці з раўнання y = x ² = t ^4. Ён аказваецца роўны dy = 4t ³ Δt.

Калі ж узяць выраз 2xdx, то яно ўяўляе дыферэнцыял y = x ² пры любым аргуменце t. Сапраўды, пры х = t ² атрымаем dx = 2tΔt.

Значыць 2xdx = 2t ² 2tΔt = 4t ³ Δt, т. Е. Выразы дыферэнцыялаў, запісаныя праз дзве розныя зменныя, супалі.

Замена прырашчэння дыферэнцыяламі

Калі f '(x) ≠ 0, то Δу і dy эквівалентныя (пры Δх → 0); пры f '(x) = 0 (што азначае і dy = 0), яны не эквівалентныя.

Напрыклад, калі y = x ^2, то Δу = (x + Δх) ² ─ x ² = 2xΔх + Δх ^2, а dy = 2xΔх. Калі х = 3, то маем Δу = 6Δх + Δх ² і dy = 6Δх, якія эквівалентныя прычыны Δх ² → 0, пры х = 0 велічыні Δу = Δх ² і dy = 0 не эквівалентныя.

Гэты факт, разам з простай структурай дыферэнцыяла (т. Е. Лінейнасці ў адносінах да Δх), часта выкарыстоўваецца ў набліжаных вылічэннях, у здагадцы, што Δу ≈ dy для малых Δх. Знайсці дыферэнцыял функцыі, як правіла, лягчэй, чым вылічыць дакладнае значэнне прырашчэння.

Напрыклад, маем металічны куб з рабром х = 10,00 см. Пры награванні рабро падоўжаны на Δх = 0,001 см. Наколькі павялічыўся аб'ём V куба? Маем V = х ^2, так што dV = 3x ² Δх = 3 ∙ 10 ² ∙ 0/01 = 3 (см ^3). Павелічэнне аб'ёму ΔV эквівалентна дыферэнцыялы dV, так што ΔV = 3 см ^3. Поўнае вылічэнне дало б ΔV = 10,01 ³ ─ 10 ³ = 3,003001. Але ў гэтым выніку ўсе лічбы, акрамя першай ненадзейныя; значыць, усё адно, трэба акругліць яго да 3 см ^3.

Відавочна, што такі падыход з'яўляецца карысным, толькі калі магчыма ацаніць велічыню привносимой пры гэтым памылкі.

Дыферэнцыял функцыі: прыклады

Паспрабуем знайсці дыферэнцыял функцыі y = x ^3, не знаходзячы вытворнай. Дамо аргументу прырашчэнне і вызначым Δу.

Δу = (Δх + x) ³ ─ x ³ = 3x ² Δх + (3xΔх ² + Δх ^3).

Тут каэфіцыент A = 3x ² не залежыць ад Δх, так што першы член прапарцыйны Δх, іншы жа член 3xΔх ² + Δх ³ пры Δх → 0 памяншаецца хутчэй, чым прырашчэнне аргументу. Стала быць, член 3x ² Δх ёсць дыферэнцыял y = x ^3:

dy = 3x ² Δх = 3x ² dx ці ж d (x ³⁾ = 3x ² dx.

Пры гэтым d (x ³⁾ / dx = 3x ^2.

Знойдзем зараз dy функцыі y = 1 / x праз яе вытворную. Тады d (1 / x) / dx = ─1 / х ^2. Таму dy = ─ Δх / х ^2.

Дыферэнцыялы асноўных алгебраічных функцый прыведзены ніжэй.

Набліжаныя вылічэнні з ужываннем дыферэнцыяла

Вылічыць функцыю f (x), а таксама яе вытворную f '(x) пры x = a часта няцяжка, а вось зрабіць тое ж самае ў наваколлі кропкі x = a бывае нялёгка. Тады на дапамогу прыходзіць набліжанага выраз

f (a + Δх) ≈ f '(a) Δх + f (a).

Яно дае набліжанага да значэнне функцыі пры малых прырашчэннем Δх праз яе дыферэнцыял f '(a) Δх.

Такім чынам, дадзеная формула дае набліжанага выраз для функцыі ў канчатковай кропцы некаторага ўчастка даўжынёй Δх ў выглядзе сумы яе значэння ў пачатковай кропцы гэтага ўчастка (x = a) і дыферэнцыяла ў той жа пачатковай кропцы. Хібнасць такога спосабу вызначэння значэння функцыі ілюструе малюнак ніжэй.

Аднак вядома і дакладнае выраз значэння функцыі для x = a + Δх, якое даецца формулай канчатковых прырашчэння (ці, інакш, формулай Лагранжа)

f (a + Δх) ≈ f '(ξ) Δх + f (a),

дзе кропка x = a + ξ знаходзіцца на адрэзку ад x = a да x = a + Δх, хоць дакладнае становішча яе невядома. Дакладная формула дазваляе ацэньваць хібнасць набліжанай формулы. Калі ж у формуле Лагранжа пакласці ξ = Δх / 2, то хоць яна і перастае быць дакладнай, але дае, як правіла, значна лепшае набліжэнне, чым зыходны выраз праз дыферэнцыял.

Ацэнка хібнасці формул пры дапамозе прымянення дыферэнцыяла

Вымяральныя прылады ў прынцыпе недакладныя, і прыўносяць у дадзеныя вымярэнняў, якія адпавядаюць памылкі. Іх характарызуюць лімітавай абсалютнай хібнасцю, або, карацей, лімітавай хібнасцю - станоўчым лікам, заведама перавышаюць гэтую памылку па абсалютнай велічыні (ці ў крайнім выпадку роўным ёй). Лімітавай адноснай хібнасцю называюць прыватнае ад яе падзелу на абсалютнае значэнне вымеранай велічыні.

Хай дакладная формула y = f (x) выкарыстаная для вычисляения функцыі y, але значэнне x ёсць вынік вымярэння і таму прыўносіць у y памылку. Тады, каб знайсці лімітавую абсалютную хібнасць │Δу│функции y, выкарыстоўваюць формулу

│Δу│≈│dy│ = │ f '(x) ││Δх│,

дзе │Δх│является лімітавай хібнасцю аргументу. Велічыню │Δу│ варта акругліць ў бок павелічэння, бо недакладнай з'яўляецца сама замена вылічэнні прырашчэння на вылічэнне дыферэнцыяла.