Як знайсці плошчу квадрата па яго баку і па яго дыяганалі?

Сёння мала хто не ведае, як знайсці плошчу квадрата. Хоць няма, гэта было ўжо ў далёкім ўчора ... Гэта значыць, у той час, калі ўсім было вядома, як вылічыць плошчу квадрата, бо сёння, як бы гэта ні гучала абсурдна, такія пытанні пастаянна сталі з'яўляцца ў інтэрнэце. Гэта дзіўна, калі не сказаць больш - страшна.

Яшчэ ў пачатковай школе вучаць, як даведацца плошчу квадрата. Але спачатку трэба навучыцца вызначаць плошчу прастакутнікаў (а квадрат - усё-ткі прастакутнік, толькі з роўнымі бакамі).

Прапануецца ўзяць за аснову нейкую квадратную меру вымярэння плошчаў - квадратны сантыметр або квадратны метр. Гэтая мера плошчаў ўяўляе сабой квадрат з бокам, роўнай небудзь аднаму сантыметры, альбо аднаму метру. У залежнасці ад памеру плошчы, якая падлягае вымярэнні, гэта можа быць гектар (квадратны кіламетр) або ар (квадрат з бокам у 100 метраў, па-іншаму - «сотка»). Гэтыя квадраты і ўкладваюць у думках на вымяраны прастакутнік.

Для вопыту варта ўзяць невялікі прастакутнік са бакамі, напрыклад, роўнымі 3 і 5 сантыметрам. Для нагляднасці малодшым школьнікам прапануецца накрэсліць фігуру на лісце ў клетку, падзяліўшы затым прастакутнік паралельнымі прамымі па даўжыні і шырыні, размясціўшы іх на адлегласці двух клетак. Як мяркуецца, дзве клеткі ў звычайнай школьнай сшыткі адпавядаюць аднаму сантыметры. Такім чынам, выходзіць, што прастакутнік падзелены на квадратныя сантыметры, то ёсць у ім размешчаны квадратныя сантыметры - меры вымярэння плошчы.

Наступным этапам з'яўляецца падлік разам у прастакутнік квадрацікаў з бокам ў адзін сантыметр. Можна спачатку пералічыць іх звычайным спосабам, паказваючы на кожны палачкай. Але затым абавязкова трэба выкарыстоўваць ужо вывучаных табліцу множання: атрымалася пяць слупкоў, у кожным па тры квадраціка. Перамнажаць іх, лёгка атрымліваем 15 квадратных сантыметраў. Калі казаць простай мовай, то плошча любога прамавугольніка знаходзіцца перамнажэннем яго даўжыні і шырыні.

Замяніўшы лік 5 на «а», а лік 3 на «b», дзеці лёгка выводзяць формулу знаходжання плошчы прамавугольніка. Такім чынам, атрымліваецца, што S = ax b. Але гэта - формула для прамавугольніка. Нам жа трэба вывесці правіла, якое тлумачыць, як знайсці плошчу квадрата!

Ды вельмі проста! Боку ў квадрата роўныя, значыць, можна замяніць бок «b» у гэтай формуле на «а». Тады выводзіцца наступнае выраз: S = ax а. Множанне колькасці на само сябе атрымлівае квадрат гэтага ліку альбо лічбу ў другой ступені.

Аднак ёсць і іншыя спосабы знаходжання плошчы квадратаў. Гэта, вядома, ужо хутчэй матэматычныя задачы. Але пры іх вырашэнні выводзяцца пэўныя формулы. Напрыклад, зададзена даведацца, як знайсці плошчу квадрата ня па баку, а па яго дыяганалі.

Каб вырашыць такую задачу, ужо мала ведаў пачатковай школы. Нам спатрэбіцца тэарэма Піфагора. Спачатку пабудуем квадрат, напрыклад, NMOP з дыяганаллю NO = m. Атрымліваем два роўных роўнабаковы прамавугольных трохвугольніка з падставай m.

Ужыўшы вышэй названую тэарэму, знаходзім бок прастакутнага трыкутніка. NM ў квадраце + MO ў квадраце = NO ў квадраце. Але так як NM = MO, то атрымліваем NM ў квадраце + NM ў квадраце = NO ў квадраце. Адсюль 2 NM ў квадраце = NO ў квадраце. Знайсці NM ў квадраце можна дзяленнем NO ў квадраце на два.

Але ж NM ў квадраце - гэта як раз і ёсць адказ на пытанне, як знайсці плошчу квадрата! А NO - гэта дыяганаль квадрата. Значыць, можам вывесці новую формулу, які абвяшчае, што плошча квадрата роўная палове яго дыяганалі, збудаванай у другую ступень.

Можна вывесці формулу знаходжання плошчы квадрата па радыусе альбо упісанай у яго акружнасці, альбо апісанай вакол яго. Але якую б задачу мы не сталі вырашаць, падмуркам вечна застанецца правіла, якое мы вывучаем у пачатковай школе, - пра тое, што перамнажаць два бакі прамавугольніка, можна даведацца яго плошча.