Што такое сіметрыя ў матэматыцы? Вызначэнне і прыклады

Разумець, што такое сіметрыя ў матэматыцы, неабходна, каб у далейшым асвоіць базавыя і прасунутыя тэмы алгебры, геаметрыі. Немалаважна гэта і для разумення чарчэння, архітэктуры, правілаў пабудовы малюнка. Нягледзячы на цесную сувязь з самай дакладнай навукай - матэматыкай, сіметрыя важная і для артыстаў, мастакоў, творцаў, і для тых, хто займаецца навуковай дзейнасцю, прычым у любой вобласці.

Агульная інфармацыя

Не толькі матэматыка, але і натуральныя навукі шмат у чым заснаваныя на паняцці сіметрыі. Больш за тое, яно сустракаецца ў паўсядзённым жыцці, з'яўляецца адным з базавых для прыроды нашай Сусвету. Разбіраючыся, што такое сіметрыя ў матэматыцы, неабходна згадаць, што існуе некалькі тыпаў гэтай з'явы. Прынята казаць пра такія варыянтах:

• Двухбаковым, гэта значыць такой, калі сіметрыя люстраная. Гэта з'ява ў вучонай асяроддзі прынята называць «білатэральны».
• Эн-ном парадку. Для гэтага паняцця ключавое з'ява - гэта кут павароту, вылічаецца падзелам 360 градусаў на некаторую зададзеную велічыню. Акрамя таго, загадзя вызначаецца вось, вакол якой гэтыя павароты здзяйсняюцца.
• Падиальная, калі з'ява сіметрыі назіраюць, калі павароты зьдзейсьняцца адвольна на некаторы выпадковы па велічыні кут. Вось таксама выбіраецца незалежным чынам. Для апісання такога з'явы ўжываюць групу SO (2).
• Сферычная. У гэтым выпадку гаворка ідзе пра трох вымярэннях, у якіх аб'ект круцяць, выбіраючы адвольныя куты. Вылучаюць канкрэтны выпадак изотропии, калі з'ява становіцца лакальным, уласцівым асяроддзі альбо прасторы.
• Вярчальны, якая злучыла ў сабе дзве апісаныя раней групы.
• Лорэнц-инвариативная, калі маюць месца адвольныя кручэння. Для гэтага тыпу сіметрыі ключавым паняццем становіцца «прастору-час Мінкоўскага».
• Супер, што вызначаецца як замена базонаў фермионами.
• Вышэйшая, выяўляецца ў ходзе групавога аналізу.
• Трансляцыйныя, калі маюцца зрухі прасторы, для якіх навукоўцы выяўляюць кірунак, адлегласць. На аснове атрыманых дадзеных праводзяць параўнальны аналіз, які дазваляе выявіць сіметрыю.
• Калібравальная, назіраная ў выпадку незалежнасці калібровачнае тэорыі пры адпаведных пераўтварэннях. Тут асаблівую ўвагу звяртаюць на тэорыю поля, у тым ліку факусуюцца на ідэях Янга-Мілс.
• КАЙНЕ, якая належыць да класа электронных канфігурацый. Пра тое, што ўяўляе сабой такая сіметрыя, матэматыка (6 клас) прадстаўлення не мае, бо гэта навука вышэйшага парадку. З'ява абумоўлена другаснай перыядычнасцю. Было адкрыта падчас навуковай працы Е. Бірона. Тэрміналогія ўведзена С. Щукаревым.

люстраная

Падчас навучання ў школе навучэнцаў практычна заўсёды просяць зрабіць працу «Сіметрыя вакол нас» (праект па матэматыцы). Як правіла, яе рэкамендуюць да выканання ў шостым класе звычайнай школы з агульнай праграмай выкладання прадметаў. Каб справіцца з праектам, неабходна спачатку азнаёміцца з паняццем сіметрыі, у прыватнасці, выявіць, што ўяўляе сабой люстраны тып як адзін з базавых і найбольш зразумелых для дзяцей.

Для выяўлення з'явы сіметрыі разглядаюць канкрэтную геаметрычную фігуру, а таксама выбіраюць плоскасць. Калі кажуць пра сіметрычнасці разгляданага аб'екта? Перш на ім выбіраюць некаторую кропку, а затым знаходзяць на яе адлюстраванне. Паміж імі двума праводзяць адрэзак і вылічаюць, пад якім вуглом да абранай раней плоскасці ён праходзіць.

Разбіраючыся, што такое сіметрыя ў матэматыцы, памятаеце, што абраная для выяўлення гэтай з'явы плоскасць будзе называцца менавіта плоскасцю сіметрыі і ніяк інакш. Праведзены адрэзак павінен перасякацца з ёй пад прамым вуглом. Адлегласць ад пункта да гэтай плоскасці і ад яе да другой кропкі адрэзка павінна быць роўным.

нюансы

Пра што яшчэ цікавым можна даведацца, разбіраючы такая з'ява, як сіметрыя? Матэматыка (6 клас) распавядае, што дзве фігуры, якія лічацца сіметрычнымі, зусім не абавязкова ідэнтычныя адзін аднаму. Паняцце роўнасьці існуе ў вузкім і шырокім сэнсе. Дык вось, сіметрычныя аб'екты ў вузкім - не адно і тое ж.

Які прыклад з жыцця можна прывесці? Элеметарный! Што скажаце наконт нашых пальчатак, рукавіц? Мы ўсе прывыклі іх насіць і ведаем, што губляць нельга, бо другую такую ў пару ўжо не падабраць, а значыць, купляць прыйдзецца абедзве нанова. А ўсё чаму? Таму што парныя вырабы, хоць і сіметрычныя, але разлічаны на левую і правую руку. Гэта - тыповы прыклад люстраной сіметрыі. Што тычыцца роўнасці, то такія аб'екты прызнаюць «люстрана роўнымі».

А што з цэнтрам?

Разглядаць цэнтральную сіметрыю пачынаюць з вызначэння уласцівасцяў цела, у дачыненні да якога неабходна ацаніць з'ява. Каб назваць яго сіметрычным, спярша выбіраюць некаторую кропку, размешчаную па цэнтры. Далей выбіраюць кропку (умоўна назавем яе А) і шукаюць для яе парную (умоўна пазначым Е).

Пры вызначэнні сіметрычнасці кропкі А і Е злучаюць паміж сабой прамой лініяй, захапляльнай цэнтральную кропку цела. Далей вымераюць атрыманую прамую. Калі адрэзак ад пункту А да цэнтра аб'екта роўны адрэзку, якая аддзяляе цэнтр ад пункту Е, можна казаць аб тым, што знойдзены цэнтр сіметрыі. Цэнтральная сіметрыя ў матэматыцы - адно з ключавых паняццяў, якія дазваляюць далей развіваць тэорыі геаметрыі.

А калі бываю цяпер?

Разбіраючы, што такое сіметрыя ў матэматыцы, нельга ўпусціць з увагі паняцце вярчальнага падтыпу гэтай з'явы. Для таго каб разабрацца з тэрмінамі, бяруць цела, якое мае цэнтральную кропку, а таксама вызначаюць цэлы лік.

У ходзе эксперыменту зададзенае цела круцяць на кут, роўны выніку дзялення 360 градусаў на абраны цэлы паказчык. Для гэтага неабходна ведаць, што такое вось сіметрыі (2 клас, матэматыка, школьная праграма). Гэтая вось - прамая, якая злучае дзве абраныя кропкі. Аб сіметрыі кручэння можна казаць, калі пры абраным вугле павароту цела будзе знаходзіцца ў тым жа становішчы, як і да правядзення маніпуляцый.

У тым выпадку, калі натуральным лікам было абрана 2, і выяўлена з'ява сіметрыі, кажуць, што вызначаная восевая сіметрыя ў матэматыцы. Такая характэрная для шэрагу фігур. Тыповы прыклад: трохкутнік.

Аб прыкладах падрабязней

Практыка шматгадовага выкладання матэматыкі і геаметрыі ў сярэдняй школе паказвае, што прасцей за ўсё з з'явай сіметрыі разабрацца, тлумачачы яго на канкрэтных прыкладах.

Для пачатку разгледзім сферу. Для такога цела адначасова ўласцівыя з'явы сіметрычнасці:

• цэнтральнай;
• люстраной;
• вярчальны.

У якасці галоўнай выбіраюць кропку, размешчаную сапраўды па цэнтры фігуры. Каб падабраць плоскасць, вызначаюць вялікі круг і быццам бы «наразаюць» яго на пласты. Пра што кажа матэматыка? Паварот і цэнтральная сіметрыя ў выпадку шара - паняцці ўзаемазвязаныя, пры гэтым дыяметр фігуры будзе служыць воссю для разгляданага з'явы.

Гэта яшчэ адзін наглядны прыклад - круглы конус. Для гэтай фігуры ўласцівая восевая сіметрыя. У матэматыцы і архітэктуры гэтая з'ява знайшло шырокае тэарэтычнае і практычнае прымяненне. Звярніце ўвагу: у якасці восі для з'явы выступае вось конусу.

Наглядна дэманструе вывучаецца з'ява прамая прызма. Гэтай постаці ўласцівая люстраная сіметрыя. Плоскасцю выбіраюць «зрэз», паралельны падставах фігуры, аддалены ад іх на роўныя прамежкі. Ствараючы геаметрычны, Начартальны, архітэктурны праект (матэматыцы сіметрыя важная не менш, чым дакладным і начартальнай навуках), памятайце аб дастасавальнасці на практыцы і карысці пры планаванні апорных элементаў з'явы люстранасці.

А калі больш цікавыя постаці?

Пра што нам можа расказаць матэматыка (6 клас)? Цэнтральная сіметрыя ёсць не толькі ў такім простым і зразумелым аб'екце, як шар. Яна ўласцівая і больш цікавым і складаным постацям. Напрыклад, такі паралелаграм. Для такога аб'екта цэнтральнай кропкай становіцца тая, у якой перасякаюцца яго дыяганалі.

А вось калі разглядаць роўнабаковы трапецыю, то гэта будзе постаць з восевай сіметрыяй. Выявіць яе можна ў тым выпадку, калі правільна выбраць вось. Цела сіметрычна адносна лініі, перпендыкулярнай падставы і перасякае яго роўна пасярэдзіне.

Сіметрыя ў матэматыцы і архітэктуры абавязкова ўлічвае ромб. Гэтая фігура характэрная тым, што адначасова аб'ядноўвае ў сабе два тыпу сіметрычнасці:

• восевай;
• цэнтральны.

У якасці восі неабходна выбраць дыяганаль аб'екта. У тым месцы, дзе дыяганалі ромба перасякаюцца, размешчаны яго цэнтр сіметрыі.

Аб прыгажосці і сіметрыі

Фарміруючы праект матэматыцы, сіметрыя для якога была б ключавой тэмай, звычайна ў першую чаргу ўспамінаюць мудрыя словы вялікага навукоўца Вейля: «Сіметрыя - гэта ідэя, якую доўгія стагоддзі спрабуе зразумець звычайны чалавек, бо менавіта яна стварае дасканалую прыгажосць праз унікальны парадак».

Як вядома, іншыя прадметы здаюцца большасці выдатнымі, у той час як іншыя адштурхваюць, нават калі ў іх няма відавочных заган. Чаму так адбываецца? Адказ на гэтае пытанне паказвае ўзаемасувязь архітэктуры і матэматыкі ў сіметрыі, бо менавіта гэта з'ява і становіцца асновай ацэнкі прадмета як эстэтычна прывабнага.

Адна з самых прыгожых жанчын на нашай планеце - гэта супермадэль Пэндзлі Тарликтон. Яна ўпэўненая, што да поспеху прыйшла ў першую чаргу дзякуючы унікальнай з'яве: яе вусны сіметрычныя.

Як вядома, прырода і імкнецца да сіметрыі, і не можа яе дасягнуць. Гэта не агульнае правіла, але зірніце на навакольных людзей: у чалавечых тварах практычна не знайсці абсалютнай сіметрыі, хоць відавочна імкненне да яе. Чым больш сіметрычна твар суразмоўцы, тым ён здаецца прыгажэй.

Як сіметрыя стала ідэяй аб выдатным

Дзіўна, што на сіметрычнасці заснавана ўспрыманне чалавекам прыгажосці навакольнага яго прасторы і аб'ектаў у ім. Доўгія стагоддзі людзі імкнуцца зразумець, што ж здаецца выдатным, а што адштурхоўвае бесстаронняе.

Сіметрычнасць, прапорцыі - вось тое, што дапамагае візуальна ўспрымаць некаторы аб'ект і ацэньваць яго станоўча. Усе элементы, часткі павінны быць збалансаваны і знаходзіцца ў разумных прапорцыях адзін з адным. Ужо даўно высветлілі, што асіметрычныя прадметы падабаюцца людзям значна менш. Усё гэта звязваюць з паняццем «гармонія». Над тым, чаму гэта так важна для чалавека, са старажытных часоў ламалі галовы мудрацы, артысты, мастакі.

Варта прыгледзецца да геаметрычным постацям, і з'ява сіметрыі стане відавочным і даступным для разумення. Найбольш тыповыя сіметрычныя з'явы ў навакольным нас прасторы:

• горныя пароды;
• кветкі і лісце раслін;
• парныя вонкавыя органы, уласцівыя жывым арганізмам.

Апісаныя з'явы маюць крыніцай саму прыроду. А вось што можна ўбачыць сіметрычнага, прыгледзеўшыся да вырабаў чалавечых рук? Прыкметна, што людзі імкнуцца да стварэння менавіта такога, калі імкнуцца зрабіць нешта прыгожае або функцыянальнае (або і такое, і такое адначасова):

• ўзоры і арнаменты, папулярныя з старажытных часоў;
• будаўнічыя элементы;
• элементы канструкцый тэхнікі;
• рукадзелле.

Аб тэрміналогіі

«Сіметрыя» - слова, якое прыйшло ў нашу мову ад старажытных грэкаў, упершыню звярнулі на гэта з'ява пільную ўвагу і што спрабавалі вывучыць яго. Тэрмін пазначае наяўнасць некаторай сістэмы, а таксама гарманічнае спалучэнне частак аб'екта. Пераводзячы слова «сіметрыя», можна падабраць у якасці сінонімаў:

• прапарцыянальнасць;
• аднолькавасць;
• суразмернасць.

Са старажытных часоў сіметрыя з'яўляецца важным паняццем для развіцця чалавецтва ў розных галінах і галінах. Народы са старажытнасці мелі агульныя ўяўленні аб гэтай з'яве, пераважна разглядаючы яго ў шырокім сэнсе. Сіметрыя пазначала гарманічнасць і ўраўнаважанасць. У наш час тэрміналогію выкладаюць у звычайнай школе. Напрыклад, што такое вось сіметрыі (2 клас, матэматыка) дзецям распавядае настаўніца на звычайным занятку.

Як ідэя гэтая з'ява часцяком становіцца пачатковым пасылам навуковых гіпотэз і тэорый. Асабліва папулярна гэта было ў ранейшыя стагоддзя, калі па ўсім свеце панавала ідэя матэматычнай гармоніі, уласцівай самой сістэме светабудовы. Знаўцы тых эпох былі перакананыя, што сіметрычнасць ёсць праява чароўнай гармоніі. А вось у Старажытнай Грэцыі філосафы запэўнівалі, што сіметрычна ўся Сусвет, і ўсё гэта грунтавалася па пастулаце: «Сіметрыя прекрасна».

Вялікія грэкі і сіметрыя

Сіметрычнасць бударажыць розумы самых вядомых навукоўцаў Старажытнай Грэцыі. Да нашых дзён дайшлі сведчанні таго, што Платон заклікаў асобна захапляцца правільны шматграннік. На яго думку, такія фігуры - гэта увасабленне стыхій нашага свету. Існавала наступная класіфікацыя:

стыхія	фігура
агонь	Тэтраэдр, паколькі вяршыня яго імкнецца ўвысь.
вада	Икосаэдр. Выбар абумоўлены «катучестью» фігуры.
паветра	Актаэдр.
зямля	Самы ўстойлівы аб'ект, то ёсць куб.
сусвет	Додекаэдра.

Шмат у чым менавіта з-за гэтай тэорыі прынята называць правільныя шматграннік Платонава целамі.

А вось тэрміналогію ўвялі яшчэ раней, і тут не апошнюю ролю адыграў скульптар Паліклет.

Піфагор і сіметрыя

У перыяд жыцця Піфагора і ў наступным, калі яго вучэнне перажывала свой росквіт, з'ява сіметрыі атрымалася выразна аформіць. Менавіта тады сіметрычнасць падвергнулася навуковаму аналізу, які даў важныя для практычнага прымянення вынікі.

Паводле атрыманых высноваў:

• Сіметрыя грунтуецца на паняццях прапорцый, аднастайнасці і роўнасці. Пры парушэнні таго ці іншага паняцця фігура становіцца менш сіметрычнай, паступова пераходзячы ў цалкам асіметрычную.
• Існуе 10 процілеглых пар. Паводле вучэння, сіметрыя ўяўляе сабой з'яву, зводзіць у адзінае супрацьлегласці і тым самым фармуе сусвет у цэлым. Гэты пастулат доўгія стагоддзі аказваў моцны ўплыў на шэраг навук як дакладных, так і філасофскіх, а таксама натуральных.

Піфагор і яго паслядоўнікі вылучалі «зусім сіметрычныя цела», да якіх прылічалі задавальняюць умовам:

• кожная грань - шматкутнік;
• грані сустракаюцца ў кутах;
• постаць павінна мець роўныя боку і куты.

Менавіта Піфагор першым сказаў, што такіх тэл існуе ўсяго толькі пяць. Гэта вялікае адкрыццё паклала пачатак геаметрыі і выключна важна для сучаснай архітэктуры.

А вы хочаце на свае вочы ўбачыць самае прыгожае з'ява сіметрыі? Злавіце зімой сняжынку. Дзіўна, але факт - гэта малюсенькі кавалачак падальнага з неба лёду мае не толькі вельмі складаную крышталічную структуру, але яшчэ і ідэальна сіметрычны. Разгледзіце яе ўважліва: сняжынка сапраўды выдатная, а яе складаныя лініі зачароўваюць.