Тупоугольный трохкутнік: даўжыня бакоў, сума кутоў. Апісаны тупоугольный трохкутнік

Яшчэ дзеці дашкольнага ўзросту ведаюць, як выглядае трохкутнік. А вось з тым, якія яны бываюць, хлопцы ўжо пачынаюць разбірацца ў школе. Адным з відаў з'яўляецца тупоугольный трохкутнік. Зразумець, што гэта такое, прасцей за ўсё, калі ўбачыць карцінку з яго выявай. А ў тэорыі гэта так называюць "найпросты шматкутнік" з трыма бакамі і вяршынямі, адна з якіх з'яўляецца тупым вуглом.

Разбіраемся з паняццямі

У геаметрыі адрозніваюць такія віды фігур з трыма бакамі: остроугольная, прастакутны і тупоугольный трыкутнікі. Пры гэтым ўласцівасці гэтых найпростых шматкутнікаў аднолькавыя для ўсіх. Так, для ўсіх пералічаных відаў будзе выконвацца такое няроўнасць. Сума даўжынь любых двух бакоў абавязкова будзе больш працягласці трэцяга боку.

Але для таго каб быць упэўненым, што гаворка ідзе менавіта пра скончанай постаці, а не пра набор асобных вяршыняў, неабходна праверыць, каб выконвалася асноўная ўмова: сума кутоў тупоугольного трыкутніка складае 180 ^а. Гэта ж дакладна і для іншых відаў фігур з трыма бакамі. Праўда, у тупоугольном трыкутніку адзін з кутоў будзе яшчэ больш 90 ^о, а два астатнія абавязкова будуць вострымі. Пры гэтым менавіта найбольшы кут будзе знаходзіцца насупраць самай доўгай боку. Праўда, гэта далёка не ўсе ўласцівасці тупоугольного трыкутніка. Але і ведаючы толькі гэтыя асаблівасці, школьнікі могуць вырашаць многія задачы па геаметрыі.

Для кожнага шматкутніка з трыма вяршынямі дакладна і тое, што, працягваючы любую з бакоў, мы атрымаем кут, памер якога будзе роўны суме двух несумежных з ім ўнутраных вяршынь. Перыметр тупоугольного трыкутніка разлічваецца так жа, як і для іншых фігур. Ён складае суме даўжынь усіх яго бакоў. Для вызначэння плошчы трохвугольніка матэматыкамі былі выведзены розныя формулы, у залежнасці ад таго, якія першапачаткова прысутнічаюць дадзеныя.

правільнае напісанне

Адным з найважнейшых умоваў рашэння задач па геаметрыі з'яўляецца верны малюнак. Часта настаўнікі матэматыкі кажуць пра тое, што ён дапаможа не толькі наглядна ўявіць, што дадзена і што ад вас патрабуецца, але на 80% наблізіцца да правільнага адказу. Менавіта таму важна ведаць, як пабудаваць тупоугольный трохкутнік. Калі вам патрэбна проста гіпатэтычная фігура, то вы можаце намаляваць любы шматкутнік з трыма бакамі так, каб адзін з кутоў быў больш 90 ^а.

Калі дадзены вызначаныя значэнні даўжынь бакоў або градусы кутоў, то чарціць тупоугольный трохкутнік неабходна ў адпаведнасці з імі. Пры гэтым неабходна імкнуцца максімальна дакладна адлюстраваць куты, падрахоўваючы іх пры дапамозе транспарціра, і прапарцыйна дадзеных у заданні умовам адлюстраваць боку.

асноўныя лініі

Часцяком школьнікам мала ведаць толькі тое, як павінны выглядаць тыя ці іншыя фігуры. Яны не могуць абмежавацца толькі інфармацыяй пра тое, які трохкутнік тупоугольный, а які прастакутны. Курсам матэматыкі прадугледжана, што іх веды аб асноўных асаблівасцях фігур павінны быць больш поўнымі.

Так, кожнаму школьніку павінна быць зразумела вызначэнне бісектрысы, медыяны, сярэдзіннага перпендыкуляра і вышыні. Акрамя таго, ён павінен ведаць і іх асноўныя ўласцівасці.

Так, бісектрысы дзеляць кут напалову, а процілеглы бок - на адрэзкі, якія прапарцыйныя прылеглым баках.

Медыяна дзеліць любы трохкутнік на два роўных па плошчы. У кропцы, у якой яны перасякаюцца, кожная з іх разбіваецца на 2 адрэзка у прапорцыі 2: 1, калі глядзець ад вяршыні, з якой яна выйшла. Пры гэтым вялікая медыяна заўсёды праведзена да яго найменшай баку.

Ня менш увагі надаецца і вышыні. Гэта перпендыкуляр да процілеглай ад кута баку. Вышыня тупоугольного трыкутніка мае свае асаблівасці. Калi яна праведзена з вострай вяршыні, то яна трапляе не на бок гэтага найпростага шматкутніка, а на яе працяг.

Сярэдзінны перпендыкуляр - гэта адрэзак, які выходзіць з цэнтра грані трыкутніка. Пры гэтым ён размешчаны да яе пад прамым вуглом.

Праца з акружнасцямі

У пачатку вывучэння геаметрыі дзецям дастаткова зразумець, як накрэсліць тупоугольный трохкутнік, навучыцца адрозніваць яго ад астатніх відаў і запомніць яго асноўныя ўласцівасці. А вось старшакласнікам гэтых ведаў ужо мала. Напрыклад, на ЕГЭ часта сустракаюцца пытанні пра апісаныя і ўпісаныя акружнасці. Першая з іх датычыцца ўсіх трох вяршыняў трыкутніка, а другая мае па адной агульнай кропцы з усімі бакамі.

Пабудаваць упісаны або апісаны тупоугольный трохкутнік ўжо нашмат складаней, бо для гэтага неабходна для пачатку высветліць, дзе павінен знаходзіцца цэнтр акружнасці і яе радыус. Дарэчы, неабходнай прыладай стане ў гэтым выпадку не толькі аловак з лінейкай, але і цыркуль.

Тыя ж складанасці ўзнікаюць пры пабудове упісаных шматкутнікаў з трыма бакамі. Матэматыкамі былі выведзены розныя формулы, якія дазваляюць вызначыць іх месцазнаходжанне максімальна дакладна.

ўпісаныя трыкутнікі

Як ужо было сказана раней, калі круг праходзіць праз усе тры вяршыні, то гэта называецца апісанай акружнасцю. Галоўным яе уласцівасцю з'яўляецца тое, што яна адзіная. Каб высветліць, як павінна размяшчацца апісаная акружнасць тупоугольного трыкутніка, неабходна памятаць, што яе цэнтр знаходзіцца на скрыжаванні трох сярэдзінных перпендыкуляра, якія ідуць да бакоў фігуры. Калі ў остроугольная шматкутніку з трыма вяршынямі гэтая кропка будзе знаходзіцца ўсярэдзіне яго, то ў тупоугольном - за яго межамі.

Ведаючы, напрыклад, што адзін з бакоў тупоугольного трыкутніка роўная яго радыусе, можна знайсці кут, які ляжыць насупраць вядомай мяжы. Яго сінус будзе роўны выніку ад дзялення даўжыні вядомай боку на 2R (дзе R - гэта радыус акружнасці). Гэта значыць sin вугла будзе роўны ½. Значыць, кут будзе роўны 150 ^а.

Калі вам неабходна знайсці радыус апісанай акружнасці тупоугольного трыкутніка, то вам спатрэбяцца звесткі аб даўжыні яго бакоў (c, v, b) і яго плошчы S. Бо радыус вылічваецца так: (c х v х b): 4 х S. Дарэчы, усё роўна , якога менавіта ў вас выгляду постаць: рознабаковы тупоугольный трохкутнік, роўнабаковы, прама- або остроугольная. У любой сітуацыі, дзякуючы прыведзенай формуле, вы можаце даведацца плошчу зададзенага шматкутніка з трыма бакамі.

апісаныя трыкутнікі

Таксама даволі часта даводзіцца працаваць са ўпісанымі акружнасцямі. Па адной з формул, радыус такой фігуры, памножаны на ½ перыметра, будзе раўняцца плошчы трохвугольніка. Праўда, для яе высвятлення вам неабходна ведаць боку тупоугольного трыкутніка. Бо для таго каб вызначыць ½ перыметра, неабходна скласці іх даўжыні і падзяліць на 2.

Каб зразумець, дзе павінен знаходзіцца цэнтр круга, ўпісана ў тупоугольный трохкутнік, неабходна правесці тры бісектрысы. Гэта лініі, якія дзеляць куты напалову. Менавіта на іх скрыжаванні і будзе знаходзіцца цэнтр акружнасці. Пры гэтым ён будзе роўнападаленыя ад кожнага з бакоў.

Радыус такой акружнасці, упісанай у тупоугольный трохкутнік, раўняецца квадратнага пні з прыватнага (pc) х (pv) х (pb): p. Пры гэтым p - гэта полупериметр трыкутніка, c, v, b - яго боку.