Карані квадратнага ўраўнення: алгебраічны і геаметрычны сэнс

У алгебры квадратным называецца раўнанне другога парадку. Пад раўнаннем маюць на ўвазе матэматычнае выраз, якое мае ў сваім складзе адну або некалькі невядомых. Раўнанне другога парадку - гэта матэматычнае раўнанне, якое мае хаця б адну невядомую ў ступені квадрат. Квадратнае раўнанне - другога парадку раўнанне, прыведзенае да выгляду тоеснасці, роўнага нулю. Вырашыць раўнанне квадратнае азначае тое ж самае, што вызначыць карані ўраўненні квадратнага. Тыповая квадратнае раўнанне ў агульным выглядзе:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

дзе W, T - каэфіцыенты пры каранях квадратнага ўраўнення;

O - вольны каэфіцыент;

c - корань квадратнага ўраўненні (заўсёды мае два значэння c1 і c2).

Як ужо гаварылася, задача рашэння квадратнага ўраўнення - знаходжанне каранёў квадратнага ўраўнення. Для таго каб іх знайсці, неабходна знайсці дискриминант:

N = T ^ 2 - 4 * W * O

Дискриминант неабходны для вырашэння формулы знаходжання кораня c1 і c2:

c1 = (-T + √N) / 2 * W і c2 = (-T - √N) / 2 * W

Калі ў квадратным раўнанні агульнага выгляду каэфіцыент пры корані T мае кратнае значэнне, то раўнанне замяняецца на:

W * c ^ 2 + 2 * U * c + O = 0

І яго карані выглядаюць як выраз:

c1 = [-U + √ (U ^ 2-W * O)] / W і c2 = [-U - √ (U ^ 2-W * O)] / W

Часта раўнанне можа мець некалькі іншы выгляд, калі с_2 можа не мець каэфіцыента W. У такім выпадку вышэйпаказанае раўнанне мае выгляд:

c ^ 2 + F * c + L = 0

дзе F - каэфіцыент пры корані;

L - вольны каэфіцыент;

c - корань раўнання квадратнага (заўсёды мае два значэння c1 і c2).

Дадзены выгляд ўраўненні называецца квадратным раўнаннем прыведзеных. Назва "прыведзенае" пайшло ад формулы прывядзення тыповага квадратнага ўраўнення, калі каэфіцыент пры корані W мае значэнне адзінка. У такім выпадку карані квадратнага ўраўнення:

c1 = -F / 2 + √ [(F / 2) ^ 2-L)] і c2 = -F / 2 - √ [(F / 2) ^ 2-L)]

У выпадку цотнага значэння каэфіцыента пры корані F карані будуць мець рашэнне:

c1 = -F + √ (F ^ 2-L) c2 = -F - √ (F ^ 2-L)

Калі казаць пра квадратных ўраўненнях, то варта ўзгадаць і тэорыяй Віета. Яна абвяшчае, што для прыведзенага квадратнага ўраўнення існуюць наступныя заканамернасці:

c ^ 2 + F * c + L = 0

c1 + c2 = -F і c1 * c2 = L

Увогуле квадратным раўнанні карані квадратнага ўраўнення звязаны залежнасцямі:

W * c ^ 2 + T * c + O = 0

c1 + c2 = -T / W і c1 * c2 = O / W

Зараз разгледзім магчымыя варыянты квадратных раўнанняў і іх рашэнні. Усяго іх можа быць два, так як, калі будзе адсутнічаць член c_2, то раўнанне ўжо не будзе квадратным. такім чынам:

1. W * c ^ 2 + T * c = 0 Варыянт квадратнага ўраўнення без свабоднага каэфіцыента (члена).

Рашэннем будзе:

W * c ^ 2 = -T * c

c1 = 0, c2 = -T / W

2. W * c ^ 2 + O = 0 Варыянт квадратнага ўраўнення без другога складаемага, калі аднолькавыя па модулю карані квадратнага ўраўнення.

Рашэннем будзе:

W * c ^ 2 = -O

c1 = √ (-O / W), c2 = - √ (-O / W)

Усё гэта была алгебра. Разгледзім геаметрычны сэнс які мае квадратнае раўнанне. Раўнаннем другога парадку ў геаметрыі апісваецца функцыя парабалы. Для вучняў сярэдняй школы даволі часта стаіць задача, як знайсці карані квадратнага ўраўнення? Дадзеныя карані ўраўненні даюць паняцце, як перасякаецца графік функцыі (парабалы) з воссю каардынатаў - абсцыс. Калі, вырашыўшы квадратнае раўнанне, мы атрымліваем ірацыянальны рашэнне каранёў, то перасячэння не будзе. Калі корань мае адну фізічную значэнне, то функцыя перасякае вось абсцыс ў адным месцы. Калі два кораня, то, адпаведна, - дзве кропкі перасячэння.

Варта адзначыць, што пад ірацыянальным коранем маюць на ўвазе адмоўнае значэнне пад коранем, пры знаходжанні каранёў. Фізічнае значэнне - любое станоўчае ці адмоўнае значэнне. У выпадку знаходжання толькі толькі аднаго кораня маюць на ўвазе, што карані аднолькавыя. Арыентацыю крывой на декартовой каардынатнай сістэме таксама можна папярэдне вызначыць па каэфіцыентах пры каранях W і T. Калі W мае станоўчае значэнне, то абедзве галінкі парабалы маюць накіраванне ўверх. Калі W мае адмоўнае значэнне, то - уніз. Таксама, калі каэфіцыент У мае станоўчы знак, пры гэтым W таксама станоўчае, то вяршыня функцыі парабалы знаходзіцца ў межах "y" ад "-" бясконцасці да "+" бясконцасці, "c" ў межах ад мінус бясконцасці да нуля. Калі T - станоўчае значэнне, а W - адмоўнае, то па другі бок восі абсцыс.