Раўнанне гарманічных ваганняў і яго значэнне ў даследаванні прыроды вагальных працэсаў

Усе гарманічныя ваганні маюць матэматычнае выраз. Іх ўласцівасці характарызуе сукупнасць трыганаметрычных ураўненняў, складанасць якіх вызначаецца складанасцю самога вагальнага працэсу, ўласцівасцямі сістэмы і асяроддзем, у якой яны адбываюцца, г.зн., знешнімі фактарамі, якія ўздзейнічаюць на вагальны працэс.

Напрыклад, у механіцы гарманічнае ваганне ўяўляе сабой рух, якому ўласцівыя:

- прамалінейны характар;

- нераўнамернасць;

- перасоўванне фізічнага цела, якое адбываецца па сінусоіднай або косинусоидальной траекторыі, а залежнасці ад часу.

Зыходзячы з дадзеных уласцівасцяў, можна прывесці раўнанне гарманічных ваганняў, якое мае выгляд:

x = A cos ωt ці ж выгляд x = A sin ωt, дзе х - значэнне каардынаты, А - значэнне амплітуды ваганні, ω - каэфіцыент.

Такое раўнанне гарманічных ваганняў з'яўляецца асноўным для ўсіх гарманічных ваганняў, якія разглядаюцца ў кінематыцы і механіцы.

Паказчык ωt, які ў дадзенай формуле стаіць пад знакам трыганаметрычнай функцыі, называюць фазай, і яна вызначае месцазнаходжанне вагальнай матэрыяльнай кропкі ў дадзены канкрэтны момант часу пры зададзенай амплітудзе. Пры разглядзе цыклічных ваганняў дадзены паказчык роўны 2л, ён паказвае колькасць механічных ваганняў у межах часовага цыкла і пазначаецца w. У гэтым выпадку раўнанне гарманічных ваганняў ўтрымлівае яго як паказчык велічыні цыклічнай (кругавой) частоты.

Разгляданая намі раўнанне гарманічных ваганняў, як ужо адзначалася, можа прымаць розныя віды, у залежнасці ад шэрагу фактараў. Напрыклад, вось такі варыянт. Каб разгледзець дыферэнцыяльнае раўнанне свабодных гарманічных ваганняў, варта ўлічваць тое, што ім усім ўласціва згасанне. У розных відах ваганняў гэта з'ява праяўляецца па-рознаму: прыпынак які рухаецца цела, спыненне выпраменьвання ў электрычных сістэмах. Найпростым прыкладам, які паказвае памяншэнне вагальнага патэнцыялу, выступае яго пераўтварэнне ў цеплавую энергію.

Разгляданая раўнанне мае выгляд: d²s / dt² + 2β х ds / dt + ω²s = 0. У гэтай формуле: s - значэнне вагальнай велічыні, якая характарызуе ўласцівасці той ці іншай сістэмы, β - канстанта, якая паказвае каэфіцыент згасання, ω - цыклічная частата.

Выкарыстанне такой формулы дазваляе падыходзіць да апісання вагальных працэсаў у лінейных сістэмах з адзінага пункту гледжання, а таксама вырабляць канструяванне і мадэляванне вагальных працэсаў на навукова-эксперыментальным узроўні.

Да прыкладу, вядома, што загасальных ваганні на заключным этапе свайго праявы ўжо перастаюць быць гарманічнымі, то ёсць катэгорыі частоты і перыяду для іх становяцца проста бязглуздымі і ў формуле не адбіваюцца.

Класічным спосабам даследаванні гарманічных ваганняў выступае гарманічны асцылятар. У найпростым выглядзе ён уяўляе сістэму, якую апісвае такое дыферэнцыяльнае раўнанне гарманічных ваганняў: ds / dt + ω²s = 0. Але разнастайнасць вагальных працэсаў натуральным чынам прыводзіць да таго, што існуе вялікая колькасць асцылятара. Пералічым іх асноўныя тыпы:

- спружынны асцылятар - звычайны груз, які валодае нейкай масай m, які падвешаны на пругкай спружыне. Ён здзяйсняе вагальныя руху гарманічнага тыпу, якія апісваюцца формулай F = - kx.

- фізічны асцылятар (ківач) - цвёрдае цела, якая ажыццяўляе вагальныя руху вакол статычнай восі пад уздзеяннем пэўнай сілы;

- матэматычны маятнік (у прыродзе практычна не сустракаецца). Ён уяўляе сабой ідэальную мадэль сістэмы, у якую ўваходзяць вагальнае фізічнае цела, якое валодае пэўнай масай, якое падвешанае на жорсткай бязважкай ніткі.