Камбінаторныя задача. Найпростыя камбінаторныя задачы. Камбінаторныя задачы: прыклады

Выкладчыкі матэматыкі знаёмяць сваіх вучняў з паняццем «камбінаторныя задача» яшчэ ў пятым класе. Гэта неабходна для таго, каб яны здолелі ў далейшым працаваць з больш складанымі заданнямі. Пад камбінаторныя задачы можна разумець магчымасць вырашыць яе з дапамогай перабору элементаў канчатковага мноства.

Галоўным прыкметай задач такога парадку з'яўляецца пытанне да іх, які гучыць як «Колькі варыянтаў?» Або «Колькімі спосабамі?» Рашэнне камбінаторныя задач напрамую залежыць ад таго, ці зразумеў вырашальны іх сэнс, ці здолеў ён правільна прадставіць дзеянне або працэс, якія былі апісаны у заданні.

Як вырашыць камбінаторныя задачу?

Важна карэктна вызначыць тып ўсіх наяўных у разгляданай задачы злучэнняў, але пры гэтым неабходна вырабіць праверку адносна таго, ці маюцца ў ёй паўторы элементаў, праўда змяняюцца самі элементы, ці гуляе вялікую ролю іх парадак, а таксама адносна некаторых іншых фактараў.

Камбінаторныя задача можа мець цэлы шэраг абмежаванняў, якія могуць быць накладзеныя на злучэння. У гэтым выпадку спатрэбіцца пралічыць цалкам яе рашэнне і праверыць, ці аказваюць гэтыя абмежаванні які-небудзь уплыў на злучэнне ўсіх элементаў. Калі ўплыў сапраўды маецца, неабходна праверыць, якое менавіта.

З чаго пачаць?

Для пачатку неабходна навучыцца рашаць найпрасцейшыя камбінаторныя задачы. Авалоданне простым матэрыялам дазволіць навучыцца разбірацца ў больш складаных заданнях. Рэкамендуецца спачатку пачаць вырашаць задачы з абмежаваннямі, якія не ўлічваюцца пры разглядзе больш простага варыянту.

Таксама рэкамендуецца паспрабаваць вырашаць спачатку тыя задачы, у якіх трэба разглядаць меншая колькасць агульных элементаў. Такім чынам вы зможаце зразумець прынцып стварэння выбарак і навучыцца ў далейшым самастойна ствараць іх. Калі задача, для якой неабходна выкарыстоўваць камбінаторыка, складаецца з камбінацыі некалькіх больш простых, рэкамендуецца вырашаць яе па частках.

Рашэнне камбінаторныя задач

Такія задачы могуць здацца простымі ў рашэнні, аднак камбінаторыка досыць складаная для асваення, некаторыя з іх не маюць вырашэння ўжо на працягу апошніх сотняў гадоў. Адной з самых вядомых задач з'яўляецца вызначэнне колькасці магічных квадратаў спецыяльнага парадку, калі лік n больш за 4.

Камбінаторныя задача цесна звязана з тэорыяй верагоднасці, якая з'явілася яшчэ ў сярэднявечныя часы. Верагоднасць паходжання таго ці іншага падзеі можна вылічыць толькі з выкарыстаннем камбінаторыкі, у дадзеным выпадку спатрэбіцца чаргаваць ўсе фактары месцамі, каб атрымаць аптымальнае рашэнне.

рашэнне задач

Камбінаторныя задачы з рашэннем выкарыстоўваюцца для навучання вучняў і студэнтаў працы з дадзеным матэрыялам. Калі ж казаць у цэлым, яны павінны выклікаць у чалавека цікавасць і жаданне знайсці агульнае рашэнне. Акрамя матэматычных разлікаў, неабходна ўжываць разумовае напружанне і выкарыстоўваць здагадку.

У працэсе вырашэння пастаўленых задач дзіця зможа развіць у сябе матэматычнае ўяўленне і камбінаторныя здольнасці, гэта можа сур'ёзна спатрэбіцца яму ў далейшым. Паступова ўзровень складанасці развязальных заданняў неабходна павышаць, каб не забываць наяўныя веды і дадаваць да іх новыя.

Спосаб 1. Перабор

Метады рашэння камбінаторныя задач вельмі моцна адрозніваюцца адзін ад аднаго, але ўсе яны могуць быць выкарыстаны вучнем для атрымання адказу. Адным з самых простых, але ў той жа час і самых доўгіх спосабаў з'яўляецца перабор. Пры ім неабходна проста перабраць усе магчымыя варыянты вырашэння, не складаючы якіх-небудзь схем і табліц.

Як правіла, пытанне ў такой задачы звязаны з магчымымі варыянтамі паходжання таго ці іншага падзеі, напрыклад: якія чысла можна скласці з дапамогай лічбаў 2, 4, 8, 9? Шляхам перабору ўсіх варыянтаў складаецца адказ, які складаецца з магчымых камбінацый. Такі спосаб выдатна падыходзіць, калі колькасць магчымых варыянтаў параўнальна невялікая.

Спосаб 2. Дрэва з варыянтаў

Некаторыя камбінаторныя задачы можна вырашыць, толькі складаючы схемы, у якіх будзе падрабязна паказаная інфармацыя аб кожным элеменце. Складанне дрэва магчымых варыянтаў - яшчэ адзін спосаб знаходжання адказу. Ён падыходзіць для рашэння не занадта-то складаных задач, у якіх маецца дадатковая ўмова.

Прыклад такой задачы:

• Якія пяцізнакавыя лікі можна скласці з лічбаў 0, 1, 7, 8? Для вырашэння спатрэбіцца пабудаваць дрэва з усіх магчымых камбінацый, пры гэтым маецца дадатковая ўмова - лік не можа пачынацца з нуля. Такім чынам, адказ будзе складацца з усіх лікаў, якія будуць пачынацца з 1, 7 або 8.

Спосаб 3. Фарміраванне табліц

Рашэнне камбінаторныя задач можна выканаць і з дапамогай табліц. Яны падобныя з дрэвам магчымых варыянтаў, паколькі прапануюць нагляднае рашэнне сітуацыі. Для знаходжання правільнага адказу трэба сфармаваць табліцу, прычым яна будзе люстраной: гарызантальныя і вертыкальныя ўмовы будуць аднолькавымі.

Магчымыя варыянты адказаў будуць атрымлівацца на скрыжаванні слупкоў і радкоў. Пры гэтым адказы на скрыжаванні слупка і радкі з аднолькавымі дадзенымі атрымлівацца не будуць, гэтыя скрыжаванні неабходна асабліва пазначыць, каб не заблытацца пры складанні выніковай адказу. Гэты спосаб не занадта-то часта выбіраецца вучнямі, многія аддаюць перавагу дрэве з варыянтамі.

Спосаб 4. Множанне

Ёсць яшчэ адзін спосаб, з дапамогай якога можна вырашыць камбінаторныя задачы, - правіла множання. Ён выдатна падыходзіць у тым выпадку, калі па ўмове ня трэба пералічваць усе магчымыя варыянты вырашэння, неабходна проста знайсці іх максімальную колькасць. Гэты метад адзіны ў сваім родзе, ім карыстаюцца вельмі часта, калі толькі пачынаюць вырашаць камбінаторныя задачы.

Прыклад такой задачы можа выглядаць наступным чынам:

• 6 чалавек чакаюць экзамену ў калідоры. Колькі спосабаў можна выкарыстоўваць, каб размясціць іх у агульным спісе? Для атрымання адказу неабходна ўдакладніць, колькі іх іх можа быць на першым месцы, колькі на другім, на трэцім і т. Д. Адказам будзе лік 720.

Камбінаторыка і яе віды

Камбінаторныя задача не з'яўляецца толькі толькі школьным матэрыялам, студэнты ВНУ таксама вывучаюць яе. У навуцы існуе некалькі відаў камбінаторыкі, і ў кожнага з іх маецца ўласная місія. Перечислительная камбінаторыка павінна разглядаць задачы на пералік і падлік магчымых канфігурацый з дадатковымі ўмовамі.

Структурная камбінаторыка з'яўляецца кампанентам праграмы ВНУ, у ёй вывучаюцца тэорыі матроидов і графаў. Экстрэмальная камбінаторыка таксама мае дачыненне да вузаўскай матэрыялу, і тут маюцца свае індывідуальныя абмежаванні. Яшчэ адзін раздзел - тэорыя Рамсея, якая займаецца вывучэннем структур у выпадковых варыяцыях элементаў. Існуе і лінгвістычная камбінаторыка, якая займаецца разглядам пытання аб спалучальнасці тых ці іншых элементаў паміж сабой.

Методыка выкладання камбінаторныя задач

Згодна з вучэбных планах, узрост вучняў, які разлічаны на першаснае знаёмства з дадзеным матэрыялам і на рашэнне камбінаторныя задач, - 5 клас. Менавіта там упершыню дадзеная тэма прапануецца на разгляд вучням, яны знаёмяцца з з'явай камбінаторныя і спрабуюць вырашаць пастаўленыя перад імі задачы. Пры гэтым вельмі важна, каб пры пастаноўцы камбінаторныя задачы выкарыстоўваўся метад, калі дзеці самі займаюцца пошукам адказаў на пытанні.

Акрамя ўсяго іншага, пасля вывучэння названай тэмы будзе нашмат лягчэй ўводзіць паняцце фактарыяла і выкарыстоўваць яго пры рашэнні раўнанняў, задач і пр. Такім чынам, камбінаторныя гуляе важную ролю пры атрыманні далейшай адукацыі.

Камбінаторныя задачы: навошта яны патрэбныя?

Калі вы ведаеце, што такое камбінаторныя задачы, то ніякіх складанасцяў з іх рашэннем вы адчуваць не будзеце. Методыка іх рашэння можа спатрэбіцца пры неабходнасці складання раскладаў, графікаў работы, а таксама складаных матэматычных вылічэнняў, для выканання якіх не падыдуць электронныя прылады.

У школах з паглыбленым вывучэннем матэматыкі і інфарматыкі камбінаторныя задачы вывучаюцца дадаткова, для гэтага складаюцца спецкурсы, метадычныя дапаможнікі і задачы. Як правіла, некалькі задач падобнага тыпу могуць уваходзіць у склад адзінага дзяржаўнага іспыту па матэматыцы, звычайна іх «хаваюць» у частцы С.

Як вырашыць камбінаторныя задачу хутка?

Вельмі важна здолець разглядзець камбінаторныя задачу хутка, паколькі яна можа мець завуаляваную фармулёўку, гэта асабліва важна пры здачы ЕГЭ, дзе кожная хвіліна на рахунку. Выпішыце асобна інфармацыю, якую вы бачыце ў тэксце задачы, на лісток, а затым паспрабуйце прааналізаваць яе з пункту гледжання чатырох вядомых вам спосабаў.

Калі вы можаце пакласці інфармацыю ў табліцу або іншае адукацыю, спрабуйце яе вырашаць. Калі класіфікаваць яе вы не можаце, у гэтым выпадку лепш за ўсё пакінуць яе ненадоўга і перайсці да вырашэння іншай задачы, каб не губляць каштоўны час. Дадзенай сітуацыі можна пазбегнуць, калі загадзя порешать некаторы колькасць задач гэтага тыпу.

Дзе знайсці прыклады?

Адзінае, што дапаможа вам навучыцца вырашаць камбінаторныя задачы, - прыклады. Іх вы можаце знайсці ў спецыяльных матэматычных зборніках, якія прадаюцца ў крамах адукацыйнай літаратуры. Аднак там можна знайсці інфармацыю толькі для студэнтаў ВНУ, школьнікам давядзецца шукаць задачы дадаткова, як правіла, для іх заданні прыдумляюцца астатнімі настаўнікамі.

Выкладчыкі ВНУ лічаць, што студэнтам неабходна трэніравацца і пастаянна прапануюць ім дадатковую вучэбную літаратуру. Адным з лепшых зборнікаў лічыцца «Метады дыскрэтнага аналізу ў вырашэнні камбінаторныя задач», напісаны ў 1977 годзе і які выпускаецца неаднаразова вядучымі выдавецтвамі краіны. Менавіта там можна знайсці задачы, якія былі актуальныя на той момант і застаюцца актуальнымі сёння.

Што рабіць, калі трэба скласці камбінаторныя задачу?

Часцей за ўсё камбінаторныя задачы неабходна складаць выкладчыкам, якія абавязаны навучыць студэнтаў думаць нешаблонных. Тут усё будзе залежаць ад творчага патэнцыялу складальніка. Рэкамендуецца звярнуць увагу на ўжо існуючыя зборнікі і паспрабаваць скласці задачу так, каб яна спалучала ў сабе адразу некалькі спосабаў яе вырашэння і мела выдатныя ад кніжных дадзеныя.

Выкладчыкі ВНУ ў гэтым плане нашмат вальней школьных, яны часцяком даюць сваім студэнтам заданне самім прыдумаць камбінаторныя задачы з падрабязнымі метадамі рашэння і тлумачэннямі. Калі вы не ставіцеся ні да тых, ні да іншых, можна папрасіць дапамогі ў тых, хто сапраўды разбіраецца ў пытанні, а таксама наняць прыватнага рэпетытара. Аднаго акадэмічнага гадзіны дастаткова для таго, каб скласці некалькі падобных задач.

Камбінаторыка - навука будучыні?

Многія спецыялісты ў галіне матэматыкі і фізікі лічаць, што менавіта камбінаторныя задача можа стаць штуршком у развіцці ўсіх тэхнічных навук. Дастаткова толькі нестандартна падысці да вырашэння тых ці іншых праблем, і тады можна будзе адказаць на пытанні, якія ўжо некалькі стагоддзяў не даюць спакою навукоўцам. Некаторыя з іх сур'ёзна сцвярджаюць, што камбінаторыка з'яўляецца дапамогай для ўсіх сучасных навук, асабліва касманаўтыкі. Нашмат прасцей будзе вылічваць траекторыі палёту караблёў з дапамогай камбінаторныя задач, таксама яны дазволяць вызначыць дакладнае знаходжанне тых ці іншых нябесных свяцілаў.

Рэалізацыя нестандартнага падыходу ўжо даўно пачалася ў азіяцкіх краінах, там вучні нават элементарныя задачы па множаньню, аднімання, складання і дзяленню вырашаюць, выкарыстоўваючы камбінаторныя метады. На здзіўленне многіх еўрапейскіх навукоўцаў, методыка сапраўды працуе. Школы Еўропы пакуль што толькі пачалі пераймаць вопыт сваіх калег. Калі менавіта камбінаторыка стане адным з асноўных раздзелаў матэматыкі, выказаць здагадку складана. Цяпер навука вывучаецца вядучымі навукоўцамі планеты, якія імкнуцца папулярызаваць яе.