Дроб. Множанне дробаў звычайных, дзесятковых, змешаных

У курсе сярэдняй і старэйшай школы навучэнцы праходзілі тэму «драбніць». Аднак гэта паняцце значна шырэй, чым даецца ў працэсе навучання. Сёння паняцце дробу сустракаецца досыць часта, і не кожны можа правесці вылічэнні якога-небудзь выразы, да прыкладу, множанне дробаў.

Што такое дроб?

Так гістарычна склалася, што дробавыя колькасці з'явіліся з-за неабходнасці вымяраць. Як паказвае практыка, часта сустракаюцца прыклады на вызначэнне даўжыні адрэзка, аб'ёму прастакутнага паралелепіпеда, плошчы прамавугольніка.

Першапачаткова вучні знаёмяцца з такім паняццем, як доля. Да прыкладу, калі падзяліць кавун на 8 частак, то кожнаму дастанецца па адной восьмай кавуна. Вось гэтая адна частка з васьмі і называецца доляй.

Доля, роўная ½ ад якой-небудзь велічыні, называецца паловай; ⅓ - трэцюю; ¼ - чвэрцю. Запісы выгляду ^{_{5/8 4/5 2/4}} называюць звычайнымі дробамі. Звычайны дроб падзяляецца на лічнік і назоўнік. Паміж імі знаходзіцца рыса дробу, або дробавая рыса. Дробную рысу можна намаляваць ў выглядзе як гарызантальнай, так і нахільнай лініі. У дадзеным выпадку яна пазначае знак дзялення.

Назоўнік ўяўляе, на колькі аднолькавых доляй падзяляюць велічыню, прадмет; а лічнік - колькі аднолькавых доляй ўзята. Лічнік пішацца над дробавай рысай, назоўнік - пад ёй.

Зручней за ўсё паказаць звычайныя дробу на каардынатнай промні. Калі адзінкавы адрэзак падзяліць на 4 роўныя долі, пазначыць кожную долю лацінскай літарай, то ў выніку можна атрымаць выдатнае навочны дапаможнік. Так, кропка А паказвае долю, роўны ^_1/4 ад усяго адзінкавага адрэзка, а кропка У адзначае ² / _8. ад дадзенага адрэзка.

разнавіднасці дробаў

Дробу бываюць звычайныя, дзесятковыя, а таксама змешаныя колькасці. Акрамя таго, дробу можна падзяліць на правільныя і няправільныя. Гэтая класіфікацыя больш падыходзіць для звычайных дробаў.

Пад правільнай дробам разумеюць лік, у якога лічнік менш назоўніка. Адпаведна, няправільная дроб - лік, у якога лічнік больш назоўніка. Другі выгляд звычайна запісваюць у выглядзе змешанага ліку. Такі выраз складаецца з цэлай і дробавай часткі. Напрыклад, 1½. 1 - цэлая частка, ½ - дробавая. Аднак калі трэба правесці нейкія маніпуляцыі з выразам (дзяленне або множанне дробаў, іх скарачэнне або пераўтварэнне), змяшанае лік перакладаецца ў няправільную дроб.

Правільнае дробавую выраз заўсёды менш адзінкі, а няправільнае - больш альбо роўна 1.

Што тычыцца дзесятковых дробаў, то пад гэтым выразам разумеюць запіс, у якой прадстаўлена любы лік, назоўнік дробавага выразы якога можна выказаць праз адзінку з некалькімі нулямі. Калі дроб правільная, то цэлая частка ў дзесятковай запісу будзе роўная нулю.

Каб запісаць дзесятковы дроб, трэба спачатку напісаць цэлую частку, аддзяліць яе ад дробавай з дапамогай коскі і потым ужо запісаць дробавую выраз. Неабходна памятаць, што пасля коскі лічнік павінен утрымліваць столькі ж лічбавых знакаў, колькі нулёў у назоўніку.

Прыклад. Прадставіць дроб 7 ^_21/1000 у дзесятковай запісу.

Алгарытм перакладу няправільнай дробу ў змяшанае лік і наадварот

Запісваць у адказе задачы няправільную дроб некарэктна, таму яе трэба перавесці ў змяшанае лік:

• падзяліць лічнік на існуючы назоўнік;
• ў канкрэтным прыкладзе няпоўнае прыватнае - цэлае;
• і рэшту - лічнік дробавай часткі, прычым назоўнік застаецца нязменным.

Прыклад. Перавесці няправільную дроб у змяшанае лік ^_47/5.

Рашэнне. 47: 5. Няпоўнае прыватнае ўраўноўваецца 9, рэшту = 2. Значыць, ^_47/5 = 9 ^_2/5.

Часам трэба прадставіць змяшанае лік у якасці няправільнай дробу. Тады трэба скарыстацца наступным алгарытмам:

• цэлая частка памнажаецца на назоўнік дробавага выразы;
• атрыманы твор дадаецца да лічніку;
• вынік запісваецца ў лічніку, назоўнік застаецца нязменным.

Прыклад. Прадставіць лік у мяшаным выглядзе ў якасці няправільнай дробу 9 ^_8/10.

Рашэнне. 9 х 10 + 8 = 90 + 8 = 98 - лічнік.

Адказ ^_98/10.

Множанне дробаў звычайных

Над звычайнымі дробамі можна здзяйсняць розныя Алгебраічныя аперацыі. Каб перамнажаць два ліку, трэба лічнік перамнажаць з лічнік, а назоўнік са назоўнікам. Прычым множанне дробаў з рознымі назоўніка не адрозніваецца ад творы дробавых лікаў з аднолькавымі назоўніка.

Здараецца, што пасля знаходжання выніку трэба скараціць дроб. У абавязковым парадку трэба максімальна спрасціць атрыманае выраз. Вядома, нельга сказаць, што няправільная дроб у адказе - гэта памылка, але і назваць верным адказам яе таксама цяжка.

Прыклад. Знайсці твор двух звычайных дробаў: ½ і ^_20/18.

Як відаць з прыкладу, пасля знаходжання творы атрымалася скарачальнасці дробавая запіс. І лічнік, і назоўнік у дадзеным выпадку дзеліцца на 4, і вынікам выступае адказ ^_5/9.

Множанне дробаў дзесятковых

Твор дзесятковых дробаў даволі моцна адрозніваецца ад творы звычайных па сваім прынцыпе. Такім чынам, множанне дробаў заключаецца ў наступным:

• дзве дзесятковыя дробы трэба запісаць адзін пад адным так, каб крайнія правыя лічбы аказаліся адна пад іншы;
• трэба перамнажаць запісаныя колькасці, нягледзячы на коскай, гэта значыць як натуральныя;
• падлічыць колькасць лічбаў пасля знака коскі ў кожным з лікаў;
• у атрыманай пасля перамнажэннем выніку трэба адлічыць справа столькі лічбавых знакаў, колькі змяшчаецца ў суме ў абодвух Множнік пасля коскі, і паставіць які аддзяляе знак;
• калі лічбаў у творы апынулася менш, тады перад імі трэба напісаць столькі нулёў, каб пакрыць гэта колькасць, паставіць коску і прыпісаць цэлую частку, роўную нулю.

Прыклад. Вылічыць твор двух дзесятковых дробаў: 2,25 і 3,6.

Рашэнне.

Множанне змешаных дробаў

Каб вылічыць твор двух змешаных дробаў, трэба выкарыстоўваць правіла множання дробаў:

• перавесці лікі ў мяшаным выглядзе ў няправільныя дробу;
• знайсці твор лічнік;
• знайсці твор назоўніка;
• запісаць атрыманы вынік;
• максімальна спрасціць выраз.

Прыклад. Знайсці твор 4½ і 6 ^_2/5.

Множанне колькасці на дроб (дробу на лік)

Акрамя знаходжання творы двух дробаў, змешаных лікаў, сустракаюцца заданні, дзе трэба памножыць натуральны лік на дроб.

Такім чынам, каб знайсці твор дзесятковага дробу і натуральнага ліку, трэба:

• запісаць лік пад дробам так, каб крайнія правыя лічбы аказаліся адна над іншай;
• знайсці твор, нягледзячы на коску;
• ў атрыманым выніку аддзяліць цэлую частку ад дробавай з дапамогай коскі, адлічыўшы справа то колькасць знакаў, якое знаходзіцца пасля коскі ў дробу.

Каб памножыць звычайны дроб на лік, варта знайсці твор лічнік і натуральнага множніка. Калі ў адказе атрымліваецца скарачальнасці дроб, яе варта пераўтварыць.

Прыклад. Вылічыць твор ^_5/8 і 12.

Рашэнне. _{^{5/8 * 12 = (5}} * 12) / 8 = 60/8 = 30/4 = 15/2 = 7 1/2 _.

Адказ: 7 ^_1/2.

Як відаць з папярэдняга прыкладу, неабходна было скараціць атрыманы вынік і пераўтварыць няправільнае дробавую выраз у змяшанае лік.

Таксама множанне дробаў тычыцца і знаходжання творы чысла ў мяшаным выглядзе і натуральнага множніка. Каб перамнажаць гэтыя два ліку, варта цэлую частку змешанага множніка памножыць на лік, лічнік памножыць на гэта ж значэнне, а назоўнік пакінуць нязменным. Калі патрабуецца, трэба максімальна спрасціць атрыманы вынік.

Прыклад. Знайсці твор 9 ^_5/6 і 9.

Рашэнне. 9 ^_5/6 х 9 = 9 х 9 + ^{(5 х _{9) / 6 = 81 + 45}} /6 = 81 + 7 3/6 = 88 1/2 _.

Адказ: 88 ^_1/2.

Множанне на множнікі 10, 100, 1000 або 0,1; 0,01; 0,001

З папярэдняга пункта выцякае наступнае правіла. Для множання дробу дзесятковай на 10, 100, 1000, 10000 і т. Д. Трэба перасунуць коску направа на столькі сімвалаў лічбаў, колькі нулёў ць Множнік пасля адзінкі.

Прыклад 1. Знайсці твор 0,065 і 1000.

Рашэнне. 0,065 х 1000 = 0065 = 65.

Адказ: 65.

Прыклад 2. Знайсці твор 3,9 і 1000.

Рашэнне. 3,9 х 1000 = 3,900 х 1000 = 3900.

Адказ: 3900.

Калі трэба перамнажаць натуральны лік і 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 і т. Д., Варта перасунуць налева коску ў атрыманай творы на столькі сімвалаў лічбаў, колькі нулёў знаходзіцца да адзінкі. Калі неабходна, перад натуральным лікам запісваюцца нулі ў дастатковай колькасці.

Прыклад 1. Знайсці твор 56 і 0,01.

Рашэнне. 56 х 0,01 = 0056 = 0,56.

Адказ: 0,56.

Прыклад 2. Знайсці твор 4 і 0,001.

Рашэнне. 4 х 0,001 = 0004 = 0,004.

Адказ: 0,004.

Такім чынам, знаходжанне творы розных дробаў не павінна выклікаць цяжкасцяў, хіба што падлік выніку; у такім выпадку без калькулятара проста не абысціся.