Бінарныя адносіны і іх ўласцівасці

Шырокі спектр адносін на прыкладзе мностваў суправаджаецца вялікім лікам паняццяў, пачынаючы з іх азначэнняў і заканчваючы аналітычным разборам парадоксаў. Разнастайнасць абмяркоўваецца ў артыкуле паняцці на мностве бясконца. Хоць, калі кажуць пра дваістыя тыпы, пад гэтым маюцца на ўвазе бінарныя адносіны паміж некалькімі велічынямі. А таксама паміж аб'ектамі або выказваннямі.

Як правіла, бінарныя адносіны абазначаюцца сімвалам R, гэта значыць, калі xRx для любога значэння x з поля R, такое ўласцівасць называюць рэфлексіўнага, у якім x і х - гэта прынятыя аб'екты думкі, а R служыць знакам аб тым ці іншым выглядзе ўзаемасувязі паміж індывідамі . У той жа час калі выказваць xRy® або yRx, то гэта гаворыць пра стан сіметрыі, дзе ® - знак імплікацыі, падобны на саюз "калі ..., то ...". І, нарэшце, расшыфроўка надпісы (xRy Ùy Rz) ®xRz раскажа пра транзітыўнай ўзаемасувязі, прычым знак Ù - гэта конъюнкция.

Бінарнае стаўленне, якое бывае адначасова рэфлексіўнага, сіметрычным і транзітыўнасць, называецца узаемасувяззю эквівалентнасці. Стаўленне f - гэта функцыя, і з <х, у> Î f і <х, z> Î f выцякае роўнасць y = z. Простая бінарная функцыя можа быць лёгка дастасоўная да двух нескладаным аргументаў, размешчаным у пэўным парадку, і толькі ў дадзеным выпадку яна прадастаўляе ёй значэнне, накіраванае гэтым двум выразамі, узятым у пэўным выпадку.

Варта казаць, што f адлюстроўвае x на y, калі f служыць функцыяй з зонай вызначэння x і зонай значэнняў y. Аднак калі f экстрапалюе x на y, і y Í z, то гэта прыводзіць да таго, што f паказвае x ў z. Просты прыклад: калі f (x) = 2x справядліва для пэўна любога цэлага х, то кажуць, што f адлюстроўвае знакавая мноства ўсіх вядомых цэлых лікаў у мноства тых жа цэлых, але на гэты раз цотных лікаў. Як ужо згадвалася вышэй, бінарныя адносіны, якія адначасова рэфлексіўнага, сіметрычныя і транзітыўнасць, з'яўляюцца ўзаемасувязямі эквівалентнасці.

Зыходзячы з вышэйсказанага, ўзаемасувязі эквівалентнасці бінарных адносін вызначаюцца ўласцівасцямі:

• рэфлексійнасці - суадносіны (M ~ N);
• сіметрычнасці - калі роўнасць M ~ N, то будзе N ~ M;
• транзітыўнасць - калі дзве роўнасьці M ~ N і N ~ P, то ў выніку M ~ P.

Разгледзім заяўленыя ўласцівасці бінарных адносін падрабязней. Рэфлексійнасці - гэта адна з характарыстык некаторых сувязяў, дзе кожны элемент доследнага мноства знаходзіцца ў дадзенай роўнасьці сам сабе. Напрыклад, паміж лікамі а = с і а³ с - рэфлексіўных сувязі, паколькі заўсёды а = а, з = с, а³ а, с³ с. У той жа час стаўленне няроўнасці а> с - антирефлексивно з-за немагчымасці існавання няроўнасці а> а. Аксіёма гэтага ўласцівасці кадуецца знакамі: aRc® aRa Ù cRc, тут сімвал ® азначае слова "цягне" (ці "имплицирует"), а знак Ù - выступае саюзам "і" (ці конъюнкцией). З гэтага сцвярджэння вынікае, што ў выпадку праўдзівасці меркаванні aRc таксама праўдзівыя і выразы aRa і cRc.

Сіметрычнасць цягне за сабой наяўнасць адносіны і ў тым выпадку, калі разумовыя аб'екты памяняць месцамі, гэта значыць пры сіметрычнай ўзаемасувязі перастаноўка аб'ектаў не прыводзіць да трансфармацыі выгляду "бінарныя адносіны". Напрыклад, сувязь роўнасці а = з сіметрычна па прычыне эквівалентнасці адносіны з = а; таксама аднолькава і меркаваньне а¹с, так як яно адказвае сувязі с¹а.

Транзітыўнасць мноства - гэта такая ўласцівасць, пры якім выконваецца наступнае патрабаванне: у Î х, z Î y ® z Î x, дзе ® выступае знакам, якія замянялі слова: "калі ..., то ...". Вербальна чытаецца формула такім чынам: «Калі ў залежыць ад х, z належыць у, то z таксама залежыць ад х".