Эўклідавай прастору: паняцце, ўласцівасці, прыкметы

Яшчэ ў школе ўсе навучэнцы знаёмяцца з паняццем «эўклідавай геаметрыі», асноўныя палажэнні якой сфакусаваныя вакол некалькіх аксіём, якія абапіраюцца на такія геаметрычныя элементы, як кропка, плоскасць, прамая, руху. Усе яны ў сукупнасці фарміруюць тое, што ўжо даўно вядома пад тэрмінам «эўклідавай прастора».

Эўклідавай прастору, вызначэнне якога грунтуецца на палажэнні аб скалярным памнажэньні вектараў, з'яўляецца прыватным выпадкам лінейнага (аффинного) прасторы, якое задавальняе цэлым шэрагу патрабаванняў. Па-першае, скалярны твор вектараў абсалютна сіметрычна, то ёсць вектар з каардынатамі (x; y) у колькасным плане тоесныя вектару з каардынатамі (y; x), аднак супрацьпастаўлены па кірунку.

Па-другое, у тым выпадку, калі вырабляецца скалярны твор вектара з самім сабой, то вынік гэтага дзеяння будзе насіць станоўчы характар. Адзіным выключэннем стане выпадак, калі пачатковая і канчатковая каардыната гэтага вэктару роўная нуля: у гэтым выпадку і твор яго з самім сабой тое ж будзе роўна нулю.

Па-трэцяе, мае месца дыстрыбутыўнага скалярнага творы, то ёсць магчымасць раскладання адной з яго каардынатаў на суму двух значэнняў, што не пацягне за сабой ніякіх зменаў у выніковым выніку скалярнага множання вектараў. Нарэшце, па-чацвёртае, пры памнажэньні вектараў на адно і тое ж сапраўдны лік іх скалярны твор таксама павялічыцца ў гэтулькі жа раз.

У тым выпадку, калі выконваюцца ўсе гэтыя чатыры ўмовы, мы можам з упэўненасцю сказаць, што перад намі эўклідавай прастору.

Эўклідавай прастору з практычнага пункту гледжання можна ахарактарызаваць наступнымі канкрэтнымі прыкладамі:

1. Самы просты выпадак - гэта наяўнасць мноства вектараў з вызначаным па асноўных законах геаметрыі скалярных творам.
2. Эўклідавай прастору атрымаецца і ў тым выпадку, калі пад вектарамі мы будзем разумець нейкае канчатковае мноства сапраўдных лікаў з зададзенай формулай, якая апісвае іх скалярнага суму або твор.
3. Прыватным выпадкам эўклідавай прасторы варта прызнаць так званае нулявое прастору, якое атрымліваецца ў тым выпадку, калі скалярная даўжыня абодвух вектараў роўная нулю.

Эўклідавай прастору валодае цэлым шэрагам спецыфічных уласцівасцяў. Па-першае, скалярны множнік можна выносіць за дужкі як ад першага, так і ад другога сомножителя скалярнага творы, вынік ад гэтага не зведае ніякіх зменаў. Па-другое, нароўні з дыстрыбутыўнага першага элемента скалярнага творы, дзейнічае і дыстрыбутыўнага другога элемента. Акрамя таго, акрамя скалярнай сумы вектараў, дыстрыбутыўнага мае месца і ў выпадку аднімання вектараў. Нарэшце, па-трэцяе, пры скалярным памнажэньні вектара на нуль, вынік таксама будзе роўны нулю.

Такім чынам, эўклідавай прастора - гэта найважнейшая геаметрычнае паняцце, якое выкарыстоўваецца пры вырашэнні задач з узаемным размяшчэннем вектараў сябар адносна сябра, для характарыстыкі якога выкарыстоўваецца такое паняцце, як скалярны твор.