Этапы мадэлявання ў матэматыцы, эканоміцы і інфарматыцы

У маштабным варыянце мадэль уяўляе сабой нейкі вобраз, схему, карту, апісанне, малюнак пэўнага з'явы альбо працэсу. Само з'ява называюць арыгіналам матэматычнай альбо эканамічнай мадэлі.

Што такое мадэляванне?

Мадэляванне з'яўляецца даследаваннем нейкага аб'екта, сістэмы. Для яго ажыццяўлення будуецца і аналізуецца мадэль.

Усе этапы мадэлявання мяркуюць навуковы эксперымент, аб'ектам якога з'яўляецца абстрактная альбо прадметная мадэль. Пры правядзенні эксперыменту канкрэтнае з'ява падмяняюць схемай альбо спрошчанай мадэллю (копіяй). У некаторых выпадках збіраюць дзеючую мадэль, каб на яе прыкладзе зразумець механізм працы, прааналізаваць эканамічную мэтазгоднасць ўкаранення вынікаў вопыту ў рынкавую эканоміку. Адно і тое ж з'ява можа быць разгледжана рознымі мадэлямі.

Даследчык павінен выбраць патрэбныя этапы мадэлявання, аптымальна іх выкарыстоўваць. Прымяненне мадэляў актуальна ў тых выпадках, калі рэальны аб'ект не даступны, альбо эксперыменты з ім звязаны з сур'ёзнымі экалагічнымі праблемамі. Дзеючая мадэль ўжываецца і ў тых сітуацыях, калі рэальны эксперымент мяркуе істотныя матэрыяльныя выдаткі.

Асаблівасці матэматычнага мадэлявання

У навуцы незаменныя матэматычныя мадэлі, а таксама прылады для іх - матэматычныя паняцці. На працягу некалькіх тысячагоддзяў яны назапашваліся, мадэрнізаваліся. У сучаснай матэматыцы існуюць універсальныя і магутныя метады даследавання. Любыя аб'екты, якія разглядаюцца «царыцай навук», уяўляюць сабой матэматычную мадэль. Для дэталёвага аналізу абранага аб'екта падбіраюцца этапы матэматычнага мадэлявання. З іх дапамогай вылучаюць дэталі, асаблівасці, характэрныя рысы, сістэматызуюць атрыманую інфармацыю, робяць паўнавартаснае апісанне аб'екта.

Матэматычная фармалізацыя мяркуе апераванне падчас даследавання адмысловымі паняццямі: матрыцай, функцыяй, вытворнай, первообразной, лікамі. Тыя адносіны і сувязі, якія ўдаецца знайсці ў які вывучаецца аб'екце паміж складовымі элементамі і дэталямі, запісваюць матэматычнымі адносінамі: раўнаннямі, няроўнасць, роўнасць. У выніку атрымліваюць матэматычнае апісанне з'явы альбо працэсу, а такім чынам, яго матэматычную мадэль.

Правілы вывучэння матэматычнай мадэлі

Існуе пэўны парадак этапаў мадэлявання, які дазваляе ўсталяваць сувязі паміж следствамі і прычынамі. Цэнтральным этапам праектавання небудзь даследаванні сістэмы з'яўляецца пабудова паўнавартаснай матэматычнай мадэлі. Менавіта ад якасці выкананых дзеянняў наўпрост залежыць далейшы аналіз дадзенага аб'екта. Пабудова матэматычнай альбо эканамічнай мадэлі не з'яўляецца фармальнай працэдурай. Яна павінна быць зручнай для ўжывання, дакладнай, каб не было скажэнняў ў выніках аналізу.

Аб класіфікацыі матэматычных мадэляў

Вылучаюць дзве разнавіднасці: дэтэрмінаваных і выпадковыя мадэлі. Дэтэрмінаваных мадэлі мяркуюць ўсталяванне узаемна-адназначнага адпаведнасці паміж зменнымі, што выкарыстоўваюцца для апісання з'явы небудзь аб'екта.

Падобны падыход грунтуецца на інфармацыі аб прынцыпе дзеяння аб'екта. У многіх выпадках мадэляваных з'ява мае складаную структуру, для расшыфроўкі яе патрабуецца шмат часу і ведаў. У падобных сітуацыях падбіраюць такія этапы мадэлявання, якія дазволяць правесці на арыгінале эксперыменты, выканаць апрацоўку атрыманых вынікаў, не ўдаючыся ў тэарэтычныя асаблівасці аб'екта. Часцей за ўсё карыстаюцца статыстыкай і тэорыяй верагоднасці. У выніку атрымліваюць стахастычнага мадэль. У ёй паміж зменнымі існуе выпадковая сувязь. Велізарная колькасць розных фактараў выклікае выпадковы набор зменных, з дапамогай якіх характарызуецца з'ява ці аб'ект.

Сучасныя этапы мадэлявання ўжываюць да статычным і дынамічным мадэлям. У статычных відах апісанне сувязяў паміж зменнымі стваранага з'явы не мяркуе ўліку змены ў часе асноўных параметраў. Для дынамічных мадэляў апісанне сувязяў паміж зменнымі ажыццяўляецца з улікам часовых зменаў.

Разнавіднасці мадэляў:

• бесперапынныя;
• дыскрэтныя;
• змешаныя

Розныя этапы матэматычнага мадэлявання дазваляюць апісваць ў лінейных мадэлях адносіны і функцыі, выкарыстоўваючы прамую сувязь зменных велічынь.

Якія патрабаванні прад'яўляюцца да мадэляў?

• Ўніверсальнасць. Мадэль павінна быць поўным адлюстраваннем ўсіх уласцівасцяў, уласцівых рэальнаму аб'екту.
• Адэкватнасць. Важныя характарыстыкі аб'екта не павінны перавышаць зададзеную велічыню хібнасці.
• Дакладнасць. Характарызуе ступень супадзенняў характарыстык існуючага ў рэальнасці аб'екта з аналагічнымі параметрамі, атрыманымі пры вывучэнні мадэлі.
• Эканамічнасць. Мадэль павінна быць мінімальнай па матэрыяльных выдатках.

этапы мадэлявання

Разгледзім асноўныя этапы матэматычнага мадэлявання.

• Выбар задачы. Выбіраецца мэта даследавання, падбіраюцца спосабы яе рэалізацыі, выпрацоўваецца стратэгія эксперыменту. Дадзены этап прадугледжвае сур'ёзную працу. Менавіта ад правільнасці пастаўленай задачы залежыць канчатковы вынік мадэлявання.

• Аналіз тэарэтычных асноў, сумаванне інфармацыі, атрыманай аб аб'екце. Падобны этап мае на ўвазе падбор альбо стварэнне тэорыі. Пры адсутнасці тэарэтычных ведаў аб аб'екце ўсталёўваюць прычынна-выніковыя сувязі паміж усімі зменнымі, абранымі для апісання з'явы небудзь аб'екта. На дадзеным этапе вызначаюць пачатковыя і канчатковыя дадзеныя, вылучаюць гіпотэзу.
• Фармалізацыя. Ажыццяўляецца выбар сістэмы спецыяльных абазначэнняў, якія дапамогуць запісваць у форме матэматычных выразаў адносіны паміж кампанентамі разгляданага аб'екта.

Дапаўненні да алгарытму

Пасля ўстаноўкі параметраў мадэлі выбіраюць пэўны спосаб альбо метад рашэння.

• Рэалізацыя створанай мадэлі. Пасля таго як будуць абраныя этапы мадэлявання сістэм, ствараецца праграма, якая праходзіць тэставанне і ўжываецца для вырашэння пастаўленай задачы.
• Аналіз сабранай інфармацыі. Праводзіцца аналогія паміж пастаўленай задачай і атрыманых рашэннем, вызначаецца хібнасць мадэлявання.
• Праверка адпаведнасці мадэлі рэальнаму аб'екту. Калі паміж імі будзе істотнае адрозненне, распрацоўваецца новая мадэль. Да таго часу, пакуль не будзе атрымана ідэальнае адпаведнасць мадэлі яе рэальнаму аналагу, праводзіцца ўдакладненне, змена дэталяў.

характарыстыка мадэлявання

У сярэдзіны мінулага стагоддзя ў жыцці сучаснага чалавека з'явілася вылічальная тэхніка, ўзрасла актуальнасць матэматычных метадаў даследавання аб'ектаў і з'яў. З'явіліся такія раздзелы, як «матэматычная хімія», «матэматычная лінгвістыка», «матэматычная эканоміка», якія займаюцца вывучэннем з'яў, аб'ектаў, былі створаны асноўныя этапы мадэлявання.

Асноўны іх мэтай было прадказанне планаваных назіранняў, даследаванне пэўных аб'ектаў. Акрамя таго, з дапамогай мадэлявання можна пазнаваць навакольны свет, шукаць спосабы кіравання ім. Правядзенне камп'ютэрнага эксперыменту мяркуецца ў тых выпадках, калі правесці сапраўдны не атрымліваецца. Пасля пабудовы матэматычнай мадэлі вывучаемай з'явы шляхам камп'ютарнай графікі можна вывучаць ядзерныя выбухі, эпідэміі чумы і т. Д.

Спецыялісты вылучаюць тры этапы матэматычнага мадэлявання, і ў кожнага ёсць свае асаблівасці:

• Пабудова мадэлі. Дадзены этап прадугледжвае заданне эканамічнага плану, з'явы прыроды, канструкцыі, вытворчага працэсу. Выразна апісаць сітуацыю ў дадзеным выпадку складана. Для пачатку трэба выявіць спецыфіку з'явы, вызначыць ўзаемасувязь паміж ім і іншымі аб'ектамі. Потым усе якасныя характарыстыкі перакладаюцца на матэматычны мову, выбудоўваецца матэматычная мадэль. Дадзены этап з'яўляецца самым цяжкім ва ўсім працэсе мадэлявання.
• Этап вырашэння матэматычнай задачы, звязаны з распрацоўкай алгарытмаў, спосабаў рашэння задачы на вылічальнай тэхніцы, выяўленне хібнасці вымярэнняў.
• Пераклад інфармацыі, атрыманай у ходзе даследаванняў, у мову той вобласці, для якой праводзіўся эксперымент.

Гэтыя тры этапы матэматычнага мадэлявання дапаўняюцца праверкай адэкватнасці атрыманай мадэлі. Выконваецца праверка адпаведнасці паміж вынікамі, атрыманымі ў эксперыменце, з тэарэтычнымі ведамі. Пры неабходнасці праводзяць мадыфікацыю створанай мадэлі. Яе ўскладняюць альбо спрашчаюць, у залежнасці ад атрыманых вынікаў.

Асаблівасці эканамічнага мадэлявання

3 этапы матэматычнага мадэлявання мяркуюць выкарыстанне алгебраічных, дыферэнцыяльных сістэм раўнанняў. Складаныя аб'екты выбудоўваюць з дапамогай тэорыі графаў. Яна прадугледжвае мноства кропак у прасторы альбо на плоскасці, часткова злучаных рэбрамі. Асноўныя этапы эканамічнага мадэлявання маюць на ўвазе выбар рэсурсаў, іх размеркаванне, ўлік транспартных перавозак, сеткавае планаванне. Якое дзеянне не з'яўляецца этапам мадэлявання? Складана адказаць на гэтае пытанне адназначна, усё залежыць ад канкрэтнай сітуацыі. Асноўныя этапы працэсу мадэлявання мяркуюць фармулёўку мэты і прадмета даследавання, вылучэнне асноўных характарыстык для дасягнення мэты, апісанне ўзаемасувязі паміж фрагментамі мадэлі. Далей выконваюць разлікі, карыстаючыся матэматычнымі формуламі.

Да прыкладу, тэорыя абслугоўвання з'яўляецца праблемай фарміравання чэргаў. Важна знайсці раўнавагу паміж выдаткамі на ўтрыманне прылад і выдаткі на знаходжанне ў чарзе. Пасля пабудовы фармальнага апісання мадэлі ажыццяўляюць разлікі, ужываючы вылічальныя і аналітычныя тэхналогіі. Пры якасным складанні мадэлі можна знайсці адказы на ўсе пытанні. Калі мадэль дрэнная, немагчыма зразумець, якое дзеянне не з'яўляецца этапам мадэлявання.

Практычнасць з'яўляецца сапраўдным крытэрыем для ацэнкі адэкватнасці з'явы альбо мадэлі. Многокритериальные мадэлі, уключаючы аптымізацыйных варыянты, мяркуюць пастаноўку мэты. А вось спосаб дасягнення гэтай мэты адрозніваецца. Сярод складанасцяў, якія магчымыя ў працэсе, варта вылучыць:

• ў складанай сістэме паміж элементамі існуе некалькі сувязяў;
• цяжка ўлічыць усе выпадковыя фактары, аналізуючы рэальную сістэму;
• праблематычна супастаўляць матэматычны апарат з тымі вынікамі, якія вы хочаце атрымаць

З-за мноства складанасцяў, якія з'яўляюцца ў працэсе вывучэння шматгранных сістэм, было распрацавана імітацыйнае мадэляванне. Пад ім разумеюць камплект спецыяльных праграм для вылічальнай тэхнікі, які апісвае работу асобных элементаў сістэмы і ўзаемасувязі паміж імі. Прымяненне выпадковых велічынь мяркуе шматразовае паўтарэнне эксперыментаў, статыстычную апрацоўку вынікаў. Праца з імітацыйнай сістэмай з'яўляецца эксперыментам, які ажыццяўляецца з дапамогай вылічальнай тэхнікі. Якія перавагі дадзенай сістэмы? Падобным чынам можна дамагчыся большай блізкасці да сапраўднай сістэме, што немагчыма ў выпадку матэматычнай мадэлі. З дапамогай блокавага прынцыпу можна аналізаваць асобныя блокі да таго, як яны будуць уключаны ў адзіную сістэму. Падобны варыянт дазваляе выкарыстоўваць складаныя залежнасці, якія нельга апісаць з дапамогай звычайных матэматычных суадносін.

Сярод мінусаў пабудовы імітацыйнай сістэмы, вылучым затраты па часе і рэсурсаў, а таксама неабходнасць прымянення сучаснай кампутарнай тэхнікі.

Этапы развіцця мадэлявання супастаўныя са зменамі, якія адбываюцца ў грамадстве. Па вобласці выкарыстання усе мадэлі падпадзяляюць на навучальныя праграмы, трэнажоры, вучэбна-наглядныя дапаможнікі. Вопытныя мадэлі могуць быць паменшанымі копіямі рэальных аб'ектаў (аўтамабіляў). Навукова-тэхнічныя варыянты ўяўляюць сабой стэнды, якія ствараюцца для аналізу электроннай апаратуры. Імітацыйныя мадэлі не толькі адлюстроўваюць сапраўдную рэальнасць, яны мяркуюць апрабацыю на лабараторных мышах, эксперыментах ў сістэме адукацыі. Імітацыя разглядаецца як метад памылак і спробаў.

Існуе падраздзяленне ўсіх мадэляў па варыянце прадстаўлення. Матэрыяльныя мадэлі называюць прадметнымі. Падобныя варыянты надзелены геаметрычнымі і фізічнымі характарыстыкамі самога арыгіналу, іх можна ўвасобіць у рэальнасць. Інфармацыйныя мадэлі немагчыма пакратаць рукамі. Яны характарызуюць стан і ўласцівасці вывучаемага аб'екта, з'явы, працэсу, і сувязь іх з рэальным светам. Вербальныя варыянты мяркуюць інфармацыйныя мадэлі, якія рэалізуюцца ў размоўным альбо ўяўным выглядзе. Знакавыя віды выказваюць шляхам прымянення пэўных знакаў шматграннага матэматычнага мовы.

заключэнне

Матэматычнае мадэляванне ў выглядзе метаду навуковага пазнання з'явілася адначасова з асновамі вышэйшай матэматыкі. Важную ролю ў падобным працэсе адыгралі І. Ньютан, Р. Дэкарт, Г. Лейбніц. Матэматычныя мадэлі былі ўпершыню выстраеныя П. Ферма, Б. Паскалем. Матэматычнаму мадэляванні ў вытворчасці, эканоміцы надавалі ўвагу В. В. Лявонцьеў, В. В. Наважылаў, А. Л. Лур'е. У нашы дні падобны варыянт вывучэння аб'екта небудзь з'явы ўжываецца ў розных сферах дзейнасці. З дапамогай праектаваных сістэм інжынеры даследуюць такія з'явы і працэсы, якія нельга прааналізаваць у рэальных умовах.

Навуковыя даследаванні шляхам мадэлявання ўжывалі ў глыбокай старажытнасці, захопліваючы з часам разнастайныя віды навуковых ведаў: архітэктуру, канструяванне, хімію, будаўніцтва, фізіку, біялогію, экалогію, геаграфію, а таксама грамадскія навукі. У любым працэсе мадэлявання ўжываюць тры кампаненты: суб'ект, аб'ект, мадэль. Безумоўна, мадэляваннем вывучэнне аб'екта небудзь з'явы не абмяжоўваецца, ёсць і іншыя спосабы атрымання неабходнай інфармацыі.