Як зразумець, чаму «плюс» на «мінус» дае «мінус»?

Слухаючы настаўніка матэматыкі, большасць вучняў ўспрымаюць матэрыял як аксіёму. Пры гэтым мала хто спрабуе дабрацца да сутнасці і разабрацца, чаму «мінус» на «плюс» дае знак «мінус», а пры памнажэньні двух адмоўных лікаў выходзіць станоўчае.

законы матэматыкі

Большасць дарослых не ў сілах растлумачыць ні сабе, ні сваім дзецям, чаму так атрымліваецца. Яны цвёрда засвоілі гэты матэрыял у школе, але пры гэтым нават не паспрабавалі высветліць, адкуль узяліся такія правілы. А дарма. Часцяком сучасныя дзеці не гэтак даверлівыя, ім неабходна дакапацца да самай сутнасці і зразумець, скажам, чаму «плюс» на «мінус» дае «мінус». А часам падшыванцы спецыяльна задаюць падступныя пытанні, каб атрымаць асалоду ад момантам, калі дарослыя не могуць даць зразумелага адказу. І зусім ужо бяда, калі няёмкае становішча трапляе малады настаўнік ...

Дарэчы, варта адзначыць, што згаданае вышэй правіла дзейсна як для множання, так і для дзялення. Твор адмоўнага і станоўчага колькасці дасць толькі «мінус. Калі гаворка ідзе пра два лічбах са знакам «-», то ў выніку атрымаецца станоўчае лік. Тое ж датычыцца і дзялення. Калі адно з лікаў будзе адмоўным, то прыватнае таксама будзе са знакам «-».

Для тлумачэння правільнасці гэтага закона матэматыкі, неабходна сфармуляваць аксіёмы кольца. Але для пачатку варта зразумець, што гэта такое. У матэматыцы кольцам прынята называць мноства, у якім задзейнічаны дзве аперацыі з двума элементамі. Але разбірацца з гэтым лепш на прыкладзе.

аксіёма кольцы

Існуе некалькі матэматычных законаў.

• Першы з іх Перамяшчальная, згодна з ім, C + V = V + C.
• Другі называецца сочетательным (V + C) + D = V + (C + D).

Ім жа падпарадкоўваецца і множанне (V х C) х D = V х (C х D).

Ніхто не адмяняў і правілаў, па якіх адкрываюцца дужкі (V + C) х D = V х D + C х D, таксама дакладна, што C х (V + D) = C х V + C х D.

Акрамя таго, устаноўлена, што ў кальцо можна ўвесці спецыяльны, нейтральны па складанні элемент, пры выкарыстанні якога будзе дакладна наступнае: C + 0 = C. Акрамя таго, для кожнага C ёсць супрацьлеглы элемент, які можна пазначыць, як (-C). Пры гэтым C + (-C) = 0.

Вывядзенне аксіём для адмоўных лікаў

Прыняўшы прыведзеныя вышэй сцвярджэнні, можна адказаць на пытанне: «" Плюс "на" мінус "дае якой знак?" Ведаючы аксіёму пра множанне адмоўных лікаў, неабходна пацвердзіць, што сапраўды (-C) х V = - (C х V). А таксама, што дакладна такое роўнасць: (- (- C)) = C.

Для гэтага прыйдзецца спачатку даказаць, што ў кожнага з элементаў існуе толькі адзін яму супрацьлеглы «субрат». Разгледзім наступны прыклад доказы. Давайце паспрабуем уявіць, што для C супрацьлеглымі з'яўляюцца два ліку - V і D. З гэтага вынікае, што C + V = 0 і C + D = 0, то ёсць C + V = 0 = C + D. Успамінаючы аб Перамяшчальная законах і пра ўласцівасці колькасці 0, можна разгледзець суму ўсіх трох лікаў: C, V і D. Паспрабуем высветліць значэнне V. Лагічна, што V = V + 0 = V + (C + D) = V + C + D, бо значэнне C + D, як было прынята вышэй, раўняецца 0. Значыць, V = V + C + D.

Сапраўды гэтак жа выводзіцца і значэнне для D: D = V + C + D = (V + C) + D = 0 + D = D. Зыходзячы з гэтага, становіцца ясна, што V = D.

Для таго каб зразумець, чаму ўсё ж «плюс» на «мінус» дае «мінус», неабходна разабрацца з наступным. Так, для элемента (-C) супрацьлеглымі з'яўляюцца C і (- (- C)), гэта значыць паміж сабой яны роўныя.

Тады відавочна, што 0 х V = (C + (-C)) х V = C х V + (-C) х V. З гэтага вынікае, што C х V процілегла (-) C х V, значыць, (- C) х V = - (C х V).

Для поўнай матэматычнай строгасці неабходна яшчэ пацвердзіць, што 0 х V = 0 для любога элемента. Калі кіравацца логікай, то 0 х V = (0 + 0) х V = 0 х V + 0 х V. А гэта значыць, што прыбытак творы 0 х V ніяк не мяняе усталяваную суму. Бо гэты твор раўняецца нулю.

Ведаючы ўсе гэтыя аксіёмы, можна вывесці не толькі, колькі «плюс» на «мінус» дае, але і што атрымліваецца пры памнажэньні адмоўных лікаў.

Множанне і дзяленне двух лікаў са знакам «-»

Калі не паглыбляцца ў матэматычныя нюансы, то можна паспрабаваць больш простым спосабам растлумачыць правілы дзеянняў з адмоўнымі лікамі.

Дапусцім, што C - (-V) = D, зыходзячы з гэтага, C = D + (-V), гэта значыць C = D - V. Пераносім V і атрымліваем, што C + V = D. Гэта значыць C + V = C - (-V). Гэты прыклад тлумачыць, чаму ў выразе, дзе ідуць два «мінусу» запар, згаданыя знакі варта памяняць на «плюс». Зараз разбяромся з памнажэннем.

(-C) х (-V) = D, у выраз можна дадаць і адняць два аднолькавых творы, якія не памяняюць яго значэння: (-C) х (-V) + (C х V) - (C х V) = D.

Успомніць аб правілах працы з дужкамі, атрымліваем:

1) (-C) х (-V) + (C х V) + (-C) х V = D;

2) (-C) х ((-V) + V) + C х V = D;

3) (-C) х 0 + C х V = D;

4) C х V = D.

З гэтага вынікае, што C х V = (-C) х (-V).

Аналагічна можна даказаць, што і ў выніку дзялення двух адмоўных лікаў выйдзе станоўчае.

Агульныя матэматычныя правілы

Вядома, такое тлумачэнне не падыдзе для школьнікаў малодшых класаў, якія толькі пачынаюць вучыць абстрактныя адмоўныя лікі. Ім лепш тлумачыць на бачных прадметах, маніпулюючы знаёмым ім тэрмінам залюстаркоўя. Напрыклад, прыдуманыя, але не існуючыя цацкі знаходзяцца менавіта там. Іх і можна адлюстраваць са знакам «-». Множанне двух зазеркальных аб'ектаў пераносіць іх у яшчэ адзін свет, які прыраўноўваецца да сапраўднаму, гэта значыць у выніку мы маем станоўчыя колькасці. А вось множанне абстрактнага адмоўнага ліку на станоўчае толькі дае знаёмы ўсім вынік. Бо «плюс» памножыць на «мінус» дае «мінус». Праўда, у малодшым школьным узросце дзеці не занадта-то спрабуюць паглыбіцца ва ўсе матэматычныя нюансы.

Хоць, калі глядзець праўдзе ў вочы, для многіх людзей нават з вышэйшай адукацыяй так і застаюцца загадкай шматлікія правілы. Усе прымаюць як дадзенасць тое, што выкладаюць ім настаўнікі, ня было цяжка ўнікаць ва ўсе складанасці, якія тоіць у сабе матэматыка. «Мінус» на «мінус» дае «плюс» - пра гэта ведаюць усе без выключэння. Гэта дакладна як для цэлых, так і для дробавых лікаў.