Шэраг Маклорена і раскладанне некаторых функцый

Якія вывучаюць вышэйшую матэматыку павінна быць вядома, што сумай нейкага сталага шэрагу, які належыць інтэрвалу збежнасці дадзенага нам шэрагу, аказваецца бесперапыннае і бязмежнае колькасць разоў дыферэнцыраваная функцыя. Узнікае пытанне: ці можна сцвярджаць, што зададзеная адвольная функцыя f (х) - гэта сума нейкага сталага шэрагу? Гэта значыць пры якіх умовах ф-ія f (х) можа быць намаляваная сталым побач? Важнасць такога пытання складаецца ў тым, што існуе магчымасць набліжана замяніць ф-ию f (х) сумай некалькіх першых членаў сталага шэрагу, то ёсць мнагачлена. Такая замена функцыі даволі простым выразам - мнагачлена - з'яўляецца зручнай і пры вырашэнні некаторых задач матэматычнага аналізу, а менавіта: пры вырашэнні інтэгралаў, пры вылічэнні дыферэнцыяльных раўнанняў і т. Д.

Даказана, што для нейкай ф-іі f (х), у якой можна вылічыць вытворныя да (n + 1) -га парадку, уключаючы апошні, у наваколлі (α - R; x ₀ + R) некаторай пункту х = α справядлівай з'яўляецца формула:

Дадзеная формула носіць імя вядомага навукоўца Брука Тэйлара. Шэраг, які атрымліваюць з папярэдняга, называецца шэраг Маклорена:

Правіла, якое дае магчымасць вырабіць разлажэнне ў шэраг Маклорена:

1. Вызначыць вытворныя першага, другога, трэцяга ... парадкаў.
2. Вылічыць, чаму роўныя вытворныя у х = 0.
3. Запісаць шэраг Маклорена для дадзенай функцыі, пасля чаго вызначыць інтэрвал яго збежнасці.
4. Вызначыць інтэрвал (-R; R), дзе рэшткавы частка формулы Маклорена

R _n (х) -> 0 пры n -> бясконцасці. У выпадку калі такі існуе, у ім функцыя f (х) павінна супадаць з сумай шэрагу Маклорена.

Разгледзім цяпер шэрагі Маклорена для асобных функцый.

1. Такім чынам, першай будзе f (x) = е ^х. Зразумела, што па сваіх асаблівасцях такая ф-ія мае вытворныя самых розных парадкаў, прычым f ^(k) (х) = ^e x, дзе k раўняецца ўсім натуральным чыслах. Падставім х = 0. Атрымаем f ^(k) (0) = e ⁰ = 1, k = 1,2 ... Зыходзячы з вышэйсказанага, шэраг е ^х будзе выглядаць наступным чынам:

2. Шэраг Маклорена для функцыі f (х) = sin х. Адразу ж удакладнім, што ф-ія для ўсіх невядомых будзе мець вытворныя, да таго ж f ^'(х) = cos х = sin (х + п / 2), ^{f' '(х)} = -sin х = sin (х + 2 * п / 2) ..., f ^(k) (х) = sin (х + k * п / 2), дзе k раўняецца любому натуральнаму ліку. Гэта значыць, вырабячы нескладаныя разлікі, можам прыйсці да высновы, што шэраг для f (х) = sin х будзе такога выгляду:

3. Зараз паспрабуем разгледзець ф-ию f (х) = cos х. Яна для ўсіх невядомых мае вытворныя адвольнага парадку, прычым | f ^(k) (x) | = | Cos (х + k * п / 2) | <= 1, k = 1,2 ... Зноў-такі, вырабячы пэўныя разлікі, атрымаем, што шэраг для f (х) = cos х будзе выглядаць так:

Такім чынам, мы пералічылі важнейшыя функцыі, якія могуць быць раскладзены ў шэраг Маклорена, аднак іх дапаўняюць шэрагі Тэйлара для некаторых функцый. Зараз мы пералічым і іх. Варта таксама адзначыць, што шэрагі Тэйлара і Маклорена з'яўляюцца важнай часткай практыкума рашэння шэрагаў у вышэйшай матэматыцы. Такім чынам, шэрагі Тэйлара.

1. Першым будзе шэраг для ф-іі f (х) = ln (1 + x). Як і ў папярэдніх прыкладах, для дадзенай нам f (х) = ln (1 + х) можна скласці шэраг, выкарыстоўваючы агульны выгляд шэрагу Маклорена. аднак для гэтай функцыі шэраг Маклорена можна атрымаць значна прасцей. Проинтегрировав нейкі геаметрычны шэраг, мы атрымаем шэраг для f (х) = ln (1 + х) такога ўзору:

2. І другім, які будзе заключным у нашым артыкуле, будзе шэраг для f (х) = arctg х. Для х, які належыць прамежку [-1; 1] справядлівым з'яўляецца разлажэнне:

На гэтым усё. У дадзеным артыкуле былі разгледжаны найбольш ужывальныя шэрагі Тэйлара і Маклорена ў вышэйшай матэматыцы, у прыватнасці, у эканамічных і тэхнічных ВНУ.