Хвалевая функцыя і яе статыстычны сэнс. Віды хвалевай функцыі і яе калапс

У гэтым артыкуле апісваецца хвалевая функцыя і яе фізічны сэнс. Таксама разглядаецца прымяненне гэтага паняцця ў рамках ўраўненні Шредингера.

Навука на парозе адкрыцця квантавай фізікі

У канцы дзевятнаццатага стагоддзя маладых людзей, якія хацелі звязаць сваё жыццё з навукай, адгаворвалі станавіцца фізікамі. Існавала меркаванне, што ўсе з'явы ўжо адчыненыя і вялікіх прарываў у гэтай галіне ўжо не можа быць. Зараз, нягледзячы на ўяўную паўнату ведаў чалавецтва, падобным чынам казаць ніхто не вырашыцца. Таму што так бывае часта: з'ява ці эфект прадказаны тэарэтычна, але людзям не хапае тэхнічнай і тэхналагічнай моцы, каб даказаць ці абвергнуць іх. Да прыкладу, Эйнштэйн прадказаў гравітацыйныя хвалі больш за сто гадоў таму, але даказаць іх існаванне стала магчымым толькі год таму. Гэта тычыцца і свету субатомных часціц (а менавіта да іх дастасавальна такое паняцце, як хвалевая функцыя): пакуль навукоўцы не зразумелі, што будынак атама складанае, у іх не было неабходнасці вывучаць паводзіны такіх маленькіх аб'ектаў.

Спектры і фатаграфія

Штуршком да развіцця квантавай фізікі стала развіццё тэхнікі фатаграфіі. Да пачатку дваццатага стагоддзя захаваныя малюнкаў было справай грувасткім, доўгім і дарагім: фотаапарат важыў дзясяткі кілаграмаў, а мадэлям даводзілася стаяць па паўгадзіны ў адной позе. Да таго ж самая малая памылка пры звароце з далікатнымі шклянымі пласцінамі, пакрытымі святлоадчувальнай эмульсіяй, прыводзіла да незваротнай страты інфармацыі. Але паступова апараты станавіліся ўсё лягчэй, вытрымка - усё менш, а атрыманне адбіткаў - усё больш. І нарэшце, стала магчыма атрымаць спектр розных рэчываў. Пытанні і неадпаведнасці, якія ўзнікалі ў першых тэорыях пра прыроду спектраў, і спарадзілі цэлую новую навуку. Асновай для матэматычнага апісання паводзін мікрасвету сталі хвалевая функцыя часціцы і яе раўнанне Шредингера.

Карпускулярна-хвалевай дуалізм

Пасля вызначэння будовы атама, паўстала пытанне: чаму электрон не падае на ядро? Бо, згодна з раўнаннях Максвелла, любая якая рухаецца зараджаная часціца выпраменьвае, такім чынам, губляе энергію. Калі б гэта было так для электронаў у ядры, вядомая нам сусвет праіснавала б нядоўга. Нагадаем, нашай мэтай з'яўляецца хвалевая функцыя і яе статыстычны сэнс.

На выручку прыйшла геніяльная здагадка навукоўцаў: элементарныя часціцы адначасова і хвалі, і часціцы (корпускул). Іх ўласцівасцямі з'яўляюцца і маса з імпульсам, і даўжыня хвалі з частатой. Акрамя таго, дзякуючы наяўнасці двух раней несумяшчальных уласцівасцяў элементарныя часціцы набылі новыя характарыстыкі.

Адной з іх з'яўляецца цяжка прадстаўляльныя спін. У свеце больш дробных часціц, кваркаў, гэтых уласцівасцяў настолькі шмат, што ім даюць зусім неверагодныя назвы: водар, колер. Калі чытач сустрэне іх у кнізе па квантавай механіцы, хай памятае: яны зусім не тое, чым здаюцца на першы погляд. Аднак як жа апісаць паводзіны такой сістэмы, дзе ўсе элементы валодаюць дзіўным наборам уласцівасцяў? Адказ - у наступным раздзеле.

раўнанне Шредингера

Знайсці стан, у якім знаходзіцца элементарная часціца (а ў абагульненым выглядзе і квантавая сістэма), дазваляе раўнанне Эрвіна Шредингера :

i ħ [(d / dt) Ψ] = Ĥ ψ.

Абазначэння ў гэтым суадносінах наступныя:

• ħ = h / 2 π, дзе h - пастаянная Планка.
• Ĥ - Гамильтониан, аператар поўнай энергіі сістэмы.
• Ψ - хвалевая функцыя.

Змяняючы каардынаты, у якіх вырашаецца гэтая функцыя, і ўмовы ў адпаведнасці з тыпам часціцы і палі, у якім яна знаходзіцца, можна атрымаць закон паводзін разгляданай сістэмы.

Паняцці квантавай фізікі

Хай чытач ня зводзяць ўяўнай прастатой выкарыстаных тэрмінаў. Такія словы і выразы, як «аператар», «поўная энергія», «элементарная вочка», - гэта фізічныя тэрміны. Іх значэння варта ўдакладняць асобна, прычым лепш выкарыстоўваць падручнікі. Далей мы дамо апісанне і выгляд хвалевай функцыі, але гэтая артыкул носіць аглядны характар. Для больш глыбокага разумення гэтага паняцця неабходна вывучыць матэматычны апарат на пэўным узроўні.

хвалевая функцыя

Яе матэматычнае выраз мае выгляд

| Ψ (t)> = ʃ Ψ (x, t) | x> dx.

Хвалевая функцыя электрона або любы іншы элементарнай часціцы заўсёды апісваецца грэцкай літарай Ψ, таму часам яе яшчэ называюць псі-функцыяй.

Для пачатку трэба зразумець, што функцыя залежыць ад усіх каардынатаў і часу. Гэта значыць Ψ (x, t) - гэта фактычна Ψ (x _1, x ₂ ... _x n, t). Важная заўвага, бо ад каардынатаў залежыць рашэнне ўраўненні Шредингера.

Далей неабходна патлумачыць, што пад | x> маецца на ўвазе базісны вектар абранай сістэмы каардынатаў. Гэта значыць, у залежнасці ад таго, што менавіта трэба атрымаць, імпульс або верагоднасць | x> будзе мець выгляд | x _1, x _2, ..., _x n>. Відавочна, што n будзе таксама залежаць ад мінімальнага вектарнага базісу абранай сістэмы. Гэта значыць, у звычайным трохмернай прасторы n = 3. Для неспрактыкаванага чытача растлумачым, што ўсе гэтыя значкі каля паказчыка x - гэта не проста капрыз, а канкрэтнае матэматычнае дзеянне. Зразумець яго без самых складаных матэматычных выкладак не атрымаецца, таму мы шчыра спадзяемся, што цікавяцца самі высвятляць яго сэнс.

І нарэшце, неабходна растлумачыць, што Ψ (x, t) = .

Фізічная сутнасць хвалевай функцыі

Нягледзячы на базавую значэнне гэтай велічыні, яна сама не мае ў падставе з'явы або паняцці. Фізічны сэнс хвалевай функцыі заключаецца ў квадраце яе поўнага модуля. Формула выглядае так:

| Ψ (x _1, x _2, ..., _x n, t) | ² = ω,

дзе ω мае значэнне шчыльнасці верагоднасці. У выпадку дыскрэтных спектраў (а не бесперапынных) гэтая велічыня набывае значэнне проста верагоднасці.

Следства фізічнага сэнсу хвалевай функцыі

Такі фізічны сэнс мае далёка ідучыя наступствы для ўсяго квантавага свету. Як становіцца зразумела з значэння велічыні ω, усё стану элементарных часціц набываюць імавернасны адценне. Самы наглядны прыклад - гэта прасторавае размеркаванне электронных аблокаў на арбіталей вакол атамнага ядра.

Возьмем два выгляду гібрыдызацыі электронаў у атамах з найбольш простымі формамі аблокаў: s і p. Аблокі першага тыпу маюць форму шара. Але калі чытач памятае з падручнікаў па фізіцы, гэтыя электронныя аблокі заўсёды адлюстроўваюцца як нейкае расплывістае навала кропак, а не як гладкая сфера. Гэта азначае, што на пэўным адлегласці ад ядра знаходзіцца зона з найбольшай верагоднасцю сустрэць s-электрон. Аднак крыху бліжэй і крыху далей гэтая верагоднасць ня нулявая, проста яна менш. Пры гэтым для p-электронаў форма электроннага аблокі малюецца ў выглядзе некалькі расплывістай гантэлі. Гэта значыць існуе дастаткова складаная паверхню, на якой верагоднасць знайсці электрон самая высокая. Але і паблізу ад гэтай «гантэлі» як далей, так і бліжэй да ядра такая верагоднасць не роўная нулю.

Нормировка хвалевай функцыі

З апошняга вынікае неабходнасць нарміравана хвалевую функцыю. Пад нормировкой маецца на ўвазе такая «падганянне» некаторых параметраў, пры якой дакладна пэўныя суадносіны. Калі разглядаць прасторавыя каардынаты, то верагоднасць знайсці дадзеную часціцу (электрон, напрыклад) у існуючай Сусвету павінна быць роўная 1. Формула выпрасаваць так:

ʃ _V Ψ * Ψ dV = 1.

Такім чынам, выконваецца закон захавання энергіі: калі мы шукаем канкрэтны электрон, ён павінен быць цалкам у зададзеным прасторы. Інакш вырашаць раўнанне Шредингера проста не мае сэнсу. І ўсё роўна, знаходзіцца гэтая часціца ўнутры зоркі або ў гіганцкім касмічным увайшоўшы, яна павінна недзе быць.

Ледзь вышэй мы згадвалі, што зменнымі, ад якіх залежыць функцыя, могуць быць і непространственные каардынаты. У такім выпадку нормировка праводзіцца па ўсіх параметрах, ад якіх функцыя залежыць.

Імгненнае перасоўванне: прыём ці рэальнасць?

У квантавай механіцы аддзяліць матэматыку ад фізічнага сэнсу неверагодна складана. Напрыклад, квант быў уведзены Планкам для зручнасці матэматычнага выразы аднаго з раўнанняў. Цяпер прынцып дыскрэтнасці многіх велічынь і паняццяў (энергіі, моманту імпульсу, поля) ляжыць у аснове сучаснага падыходу да вывучэння мікрасвету. У Ψ таксама ёсць такі парадокс. Паводле аднаго з рашэнняў ўраўненні Шредингера, магчыма, што пры вымярэнні квантавы стан сістэмы змяняецца імгненна. Гэта з'ява звычайна пазначаецца як рэдукцыя ці калапс хвалевай функцыі. Калі такое магчыма ў рэальнасці, квантавыя сістэмы здольныя перамяшчацца з бясконцай хуткасцю. Але абмежаванне хуткасцяў для рэчыўных аб'ектаў нашай Сусвету неадменнае: нішто не можа рухацца хутчэй святла. З'ява гэта зафіксавана ні разу не было, але і абвергнуць яго тэарэтычна пакуль не ўдалося. З часам, магчыма, гэты парадокс вырашыцца: альбо ў чалавецтва з'явіцца інструмент, які зафіксуе такая з'ява, альбо знойдзецца матэматычнае хітрасьць, якое дакажа безгрунтоўнасць гэтай здагадкі. Ёсць і трэці варыянт: людзі створаць такі феномен, але пры гэтым Сонечная сістэма зваліцца ў штучную чорную дзірку.

Хвалевая функцыя шматчасцічнай сістэмы (атама вадароду)

Як мы сцвярджалі на працягу ўсёй артыкула, псі-функцыя апісвае адну элементарную часціцу. Але пры бліжэйшым разглядзе атам вадароду падобны на сістэму з усяго толькі двух часціц (аднаго адмоўнага электрона і аднаго станоўчага пратона). Хвалевыя функцыі атама вадароду могуць быць апісаны як Двухчасткавая або аператарам тыпу матрыцы шчыльнасці. Гэтыя матрыцы не зусім дакладна з'яўляюцца працягам псі-функцыі. Яны хутчэй паказваюць адпаведнасць верагоднасцяў знайсці часціцу ў адным і іншым стане. Пры гэтым важна памятаць, што задача вырашана толькі для двух тэл адначасова. Матрыцы шчыльнасці дастасавальныя да парам часціц, але немагчымыя для больш складаных сістэм, напрыклад пры ўзаемадзеянні трох і больш тэл. У гэтым факце прасочваецца неверагоднае падабенства паміж найбольш «грубай» механікай і вельмі "тонкай" квантавай фізікай. Таму не варта думаць, што раз існуе квантавая механіка, у звычайным фізіцы новых ідэй не можа ўзнікнуць. Цікавае хаваецца за любым паваротам матэматычных маніпуляцый.