Поўнае даследаванне функцыі і дыферэнцыяльнае падлік

Атрымаўшы шырокія веды ў працы з функцыямі, мы ўзброіліся дастатковым наборам інструмента, які дазваляе правесці поўнае даследаванне канкрэтна зададзенай матэматычна заканамернасці ў выглядзе формулы (функцыі). Вядома, можна было б пайсці найбольш простым, але карпатлівай шляхам. Да прыкладу, задацца межамі аргументу, выбраць інтэрвал, вылічыць на ім значэння функцыі і пабудаваць графік. Пры наяўнасці магутных сучасных камп'ютэрных сістэм гэтая задача вырашаецца за лічаныя секунды. Але прыбраць са свайго арсенала поўнае даследаванне функцыі матэматыкі не спяшаюцца, бо менавіта гэтымі метадамі можна правесці ацэнку правільнасці працы камп'ютэрных сістэм у вырашэнні падобных задач. Пры механічным пабудове графіка мы не можам гарантаваць дакладнасць зададзенага вышэй інтэрвалу ў выбары аргументу.

І толькі пасля таго, як праведзена поўнае даследаванне функцыі, можна быць упэўненым, што улічаны ўсе нюансы «паводзін» такой не на выбарачным інтэрвале, а на ўсім дыяпазоне аргументу.

Для вырашэння самых разнастайных задач у галінах фізікі, матэматыкі і тэхнікі ўзнікае неабходнасць правесці даследаванне функцыянальнай залежнасці паміж зменнымі, якія ўдзельнічаюць у разгляданым з'яве. Апошняе, зададзенае аналітычна адной або наборам з некалькіх формул, дазваляе праводзіць даследаванне метадамі матэматычнай аналітыкі.

Правесці поўнае даследаванне функцыі - гэта высветліць і вызначыць ўчасткі, на якіх яна ўзрастае (меншае), дзе дасягае максімуму (мінімуму), а таксама іншыя асаблівасці яе графіка.

Маюцца пэўныя схемы, па якіх вырабляецца поўнае даследаванне функцыі. Прыклады пералікаў праводзяцца матэматычных даследаванняў зводзяцца да знаходжання практычна аднолькавых момантаў. Прыкладны план аналізу прадугледжвае правядзенне наступных даследаванняў:

- знаходзім вобласць вызначэння функцыі, даследуем паводзіны ў межах яе межаў;

- ажыццяўляем знаходжанне кропак разрыву з класіфікацыяй пры дапамозе аднабаковых межаў;

- праводзім вызначэнне асимптот;

- знаходзім пункты экстрэмуму і інтэрвалы манатоннасці;

- вырабляем вызначэнне кропак перагіну, інтэрвалаў ўвагнутасці і выпукласці;

- ажыццяўляем пабудова графіка на аснове атрыманых у ходзе даследавання вынікаў.

Пры разглядзе толькі некаторых пунктаў гэтага плана варта адзначыць, што дыферэнцыяльнае падлік аказалася вельмі ўдалым інструментам для даследавання функцыі. Маюцца даволі нескладаныя сувязі, якія існуюць паміж паводзінамі функцыі і асаблівасцямі яе вытворнай. Для вырашэння гэтай задачы цалкам дастаткова вылічыць першую і другую вытворную.

Разгледзім парадак знаходжання інтэрвалаў змяншэння, ўзрастання функцыі, яны яшчэ атрымалі імя інтэрвалаў манатоннасці.

Для гэтага дастаткова вызначыць знак першай вытворнай на пэўным адрэзку. Калі яна на адрэзку пастаянна больш за нуль, то можна смела меркаваць аб манатонна узрастанні функцыі ў гэтым дыяпазоне, і наадварот. Адмоўныя значэння першай вытворнай характарызуюць функцыю як манатонна меншае.

З дапамогай вылічанай вытворнай вызначаем ўчасткі графіка, названыя выпукласцямі, а таксама ўвагнутай функцыі. Даказана, што калі ў ходзе разлікаў атрымалі вытворную функцыі бесперапынную і адмоўную, то гэта сведчыць аб выпукласці, бесперапыннасць другой вытворнай і яе станоўчае значэнне сведчыць аб увагнутасці графіка.

Знаходжанне моманту, калі адбываецца змена знака каля другой вытворнай або участкаў, дзе яна не існуе, сведчыць аб вызначэнні кропкі перагіну. Менавіта яна з'яўляецца межавай на інтэрвалах выпукласці і ўвагнутасці.

Поўнае даследаванне функцыі не сканчаецца на вышэйзгаданых момантах, але выкарыстанне дыферэнцыяльнага вылічэння значна спрашчае гэта працэс. Пры гэтым вынікі аналізу маюць максімальную ступень пэўнасці, што дазваляе будаваць графік, які поўнасцю адпавядае уласцівасцях доследных функцый.