Перыядычная функцыя: агульныя паняцці

Часта пры вывучэнні з'яў прыроды, хімічных і фізічных уласцівасцяў розных рэчываў, а таксама пры вырашэнні складаных тэхнічных задач даводзіцца сутыкацца з працэсамі, характэрнай рысай якіх з'яўляецца перыядычнасць, то ёсць тэндэнцыя да паўтору праз некаторы прамежак часу. Для апісання і графічнага малюнка такой цыклічнасці ў навуцы існуе функцыя адмысловага выгляду - перыядычная функцыя.

Самы просты і ўсім зразумелы прыклад - зварот нашай планеты вакол Сонца, пры якім увесь час мяняецца паміж імі адлегласць падпарадкоўваецца гадавым цыклам. Сапраўды гэтак жа вяртаецца на сваё месца, здзейсніўшы поўны абарот, лопасць турбіны. Усе падобныя працэсы можна апісаць такой матэматычнай велічынёй, як перыядычная функцыя. Па вялікім рахунку, увесь наш свет мае цыклічны характар. А значыць, і перыядычная функцыя займае немалаважнае месца ў сістэме чалавечых каардынатаў.

Патрэба матэматычнай навукі ў тэорыі лікаў, тапалогіі, дыферэнцыяльных раўнаннях і дакладных геаметрычных вылічэннях прывяла да з'яўлення ў дзевятнаццатым стагоддзі новай катэгорыі функцый з незвычайнымі ўласцівасцямі. Імі сталі перыядычныя функцыі, якія прымаюць тоесныя значэння ў пэўных кропках ў выніку складаных пераўтварэнняў. Зараз яны прымяняюцца ў многіх раздзелах матэматыкі і іншых навук. Напрыклад, пры вывучэнні розных вагальных эфектаў ў хвалевай фізіцы.

У розных матэматычных падручніках даюцца розныя вызначэння перыядычным функцыі. Аднак незалежна ад гэтых разыходжанняў ў фармулёўках, усе яны эквівалентныя, так як апісваюць яны і тыя ж ўласцівасці функцыі. Найбольш простым і зразумелым можа быць наступнае вызначэнне. Функцыі, лікавыя паказчыкі якіх не падвяргаюцца зменам, калі дадаць да іх аргументу некаторы лік, выдатнае ад нуля, так званы перыяд функцыі, які пазначаецца літарай Т, называюцца перыядычнымі. Што ўсё гэта значыць на практыцы?

Напрыклад, простая функцыя выгляду: y = f (x) стане перыядычным ў тым выпадку, калі Х мае пэўнае значэнне перыяду (Т). З дадзенага вызначэння вынікае, што калі лікавае значэнне функцыі, якая мае перыяд (Т), вызначана ў адной з кропак (х), то яе значэнне таксама становіцца вядомым у кропках х + Т, х - Т. Важным момантам тут з'яўляецца тое, што пры Т роўным нулю функцыя ператвараецца ў тоеснасць. Перыядычная функцыя можа валодаць бясконцым лікам розных перыядаў. У асноўнай масе выпадкаў сярод станоўчых значэнняў Т існуе перыяд з найменшай лічбавым паказчыкам. Яго называюць асноўным перыядам. А ўсе астатнія значэння Т заўсёды яму кратныя. Гэта яшчэ адно цікавае і вельмі важнае для розных галін навукі ўласцівасць.

Графік перыядычнай функцыі валодае таксама некалькімі асаблівасцямі. Напрыклад, калі Т з'яўляецца асноўным перыядам выразы: y = f (x), то пры пабудове графіка дадзенай функцыі досыць усяго толькі пабудаваць галіна на адным з прамежкаў даўжыні перыяду, а затым перанесці яе па восі х на наступныя значэнні: ± Т, ± 2Т , ± 3Т і гэтак далей. У заключэнне варта адзначыць, што не ва ўсякай перыядычным функцыі ёсць асноўны перыяд. Класічным прыкладам гэтага служыць функцыя нямецкага матэматыка Дирихле наступнага выгляду: y = d (x).