Лікі Фібаначы і залатое сячэнне: ўзаемасувязь

Ў сусвеце яшчэ шмат неразгаданых таямніц, некаторыя з якіх навукоўцы ўжо змаглі вызначыць і апісаць. Лікі Фібаначы і залатое сячэнне складаюць аснову разгадкі навакольнага свету, пабудовы яго формы і аптымальнага глядзельнага ўспрымання чалавекам, з дапамогай якіх ён можа адчуваць прыгажосць і гармонію.

залатое сячэнне

Прынцып вызначэння памераў залатога сячэння ляжыць у аснове дасканаласці цэлага свету і яго частак у сваёй структуры і функцыях, яго праява можна бачыць у прыродзе, мастацтве і тэхніцы. Вучэнне аб залатой прапорцыі было закладзена ў выніку даследаванняў старажытнымі навукоўцамі прыроды лікаў.

У аснове яго ляжыць тэорыя пра прапорцыі і суадносінах дзяленняў адрэзкаў, якое было зроблена яшчэ старажытным філосафам і матэматыкам Піфагорам. Ён даказаў, што пры падзеле адрэзка на дзве часткі: X (меншую) і Y (вялікую), стаўленне большага да меншага будзе роўна стаўленню іх сумы (усяго адрэзка):

X: Y = Y: X + Y.

У выніку атрымліваецца раўнанне: х ² - х - 1 = 0, якое вырашаецца як х = (1 ± √5) / 2.

Калі разгледзець суадносіны 1 / х, то яно роўна 1,618 ...

Сведчанні выкарыстання старажытнымі мыслярамі залатой прапорцыі прыведзены ў кнізе Эўкліда «Пачала», напісанай яшчэ ў 3 ст. да н.э., які ўжываў гэтае правіла для пабудовы правільных 5-кутнікаў. У піфагарэйцаў гэтая фігура лічыцца свяшчэннай, паколькі з'яўляецца адначасова сіметрычнай і асіметрычнай. Пентаграма сімвалізавала жыццё і здароўе.

Лікі Фібаначы

Знакамітая кніга Liber abaci матэматыка з Італіі Леанарда Пізанскага, які ў наступным стаў вядомы, як Фібаначы, пабачыла свет у 1202 г. У ёй вучоны ўпершыню прыводзіць заканамернасць лікаў, у шэрагу якіх кожны лік з'яўляецца сумай 2-х папярэдніх лічбаў. Паслядоўнасць лікаў Фібаначы заключаецца ў наступным:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 і г.д.

Таксама навуковец прывёў шэраг заканамернасцяў:

• Любы лік з шэрагу, падзеленае на наступнае, будзе роўна значэнню, якое імкнецца да 0,618. Прычым першыя лікі Фібаначы не даюць такога ліку, але па меры прасоўвання ад пачатку паслядоўнасці гэтыя суадносіны будзе ўсё больш дакладным.
• Калі ж падзяліць лік з шэрагу на папярэдняе, то вынік накіруецца да 1,618.
• Адно лік, падзеленае на наступнае праз адно, пакажа значэнне, якое імкнецца да 0,382.

Ўжываньне сувязі і заканамернасцяў залатога перасеку, колькасці Фібаначы (0,618) можна знайсці не толькі ў матэматыцы, але і ў прыродзе, у гісторыі, у архітэктуры і будаўніцтве і ў многіх іншых навуках.

Спіраль Архімеда і залаты прастакутнік

Спіралі, вельмі распаўсюджаныя ў прыродзе, былі даследаваны Архімедам, які нават вывеў яе раўнанне. Форма спіралі заснавана на законах аб залатым перасеку. Пры яе раскручванні атрымліваецца даўжыня, да якой можна ўжыць прапорцыі і лікі Фібаначы, павелічэнне кроку адбываецца раўнамерна.

Паралель паміж лікамі Фібаначы і залатым перасекам можна ўбачыць і пабудаваўшы «залатой прастакутнік», у якога боку прапарцыйныя, як 1,618: 1. Ён будуецца, пераходзячы ад большага прамавугольніка да малых так, што даўжыні бакоў будуць роўныя чыслах з шэрагу. Пабудова яго можна зрабіць і ў адваротным парадку, пачынаючы з квадраціка «1». Пры злучэнні лініямі кутоў гэтага прамавугольніка у цэнтры іх перасячэння атрымліваецца спіраль Фібаначы або лагарыфмічная.

Гісторыя ўжывання залатых прапорцый

Многія старажытныя помнікі архітэктуры Егіпта ўзведзены з выкарыстаннем залатых прапорцый: знакамітыя піраміды Хеопса і інш. Архітэктары Старажытнай Грэцыі шырока использовалиих іх пры ўзвядзенні архітэктурных аб'ектаў, такіх як храмы, амфітэатр, стадыёны. Напрыклад, былі ўжытыя такія прапорцыі пры будаўніцтве антычнага храма Парфенон, тэатра Дыяніса (Афіны) і іншых аб'ектаў, якія сталі шэдэўрамі старажытнага дойлідства, якія дэманструюць гармонію, заснаваную на матэматычнай заканамернасці.

У пазнейшыя стагоддзя цікавасць да залатога перасеку прыціхла, і заканамернасці былі забытыя, аднак зноў аднавіўся ў эпоху Рэнесансу разам з кнігай францысканскага манаха Л. Пачолі дзі Борг "Боская прапорцыя" (1509 г.). У ёй былі прыведзены ілюстрацыі Леанарда да Вінчы, які і замацаваў новую назву «залатое сячэнне». Таксама былі навукова даказаны 12 уласцівасцяў залатой прапорцыі, прычым аўтар распавядаў пра тое, як выяўляецца яна ў прыродзе, у мастацтве і называў яе «прынцыпам пабудовы свету і прыроды».

Вітрувіянскі чалавек Леанарда

Малюнак, якім Леанарда да Вінчы ў 1492 г. праілюстраваў кнігу Витрувия, малюе постаць чалавека ў 2-х пазіцыях з рукамі, разведзенымі ў бакі. Фігура ўпісана ў круг і квадрат. Гэты малюнак прынята лічыць кананічнымі прапорцыямі чалавечага цела (мужчынскага), апісанымі Леанарда на аснове вывучэння іх у трактатах рымскага архітэктара Витрувия.

Цэнтрам цела як роўнааддаленасцю кропкай ад канца рук і ног лічыцца пупок, даўжыня рук прыраўноўваецца да росту чалавека, максімальная шырыня плячэй = 1/8 росту, адлегласць ад верху грудзей да валасоў = 1/7, ад верху грудзей да верху галавы = 1/6 і г.д.

З тых часоў малюнак выкарыстоўваецца ў выглядзе сімвала, які паказвае ўнутраную сіметрыю цела чалавека.

Тэрмін «Залатое сячэнне» Леанарда выкарыстаў для абазначэння прапарцыйных адносін у постаці чалавека. Напрыклад, адлегласць ад пояса да ступняў ног суадносіцца да аналагічнага адлегласці ад пупка да макушкі гэтак жа, як рост да першай даўжыні (ад пояса ўніз). Гэтыя вылічэнне робіцца аналагічна суадносінах адрэзкаў пры вылічэнні залатой прапорцыі і імкнецца да 1,618.

Усе гэтыя гарманічныя прапорцыі часта выкарыстоўваюцца дзеячамі мастацтва для стварэння прыгожых і ўражлівых твораў.

Даследаванні залатога перасеку ў 16-19 стагоддзях

Выкарыстоўваючы залатое сячэнне і лікі Фібаначы, даследчую працу па пытанні аб прапорцыях працягваюць ўжо не адно стагоддзе. Паралельна з Леанарда да Вінчы нямецкі мастак Альбрэхт Дзюрэр таксама займаўся распрацоўкай тэорыі правільных прапорцый цела чалавека. Для гэтага ім нават быў створаны адмысловы цыркуль.

У 16 ст. пытанні пра сувязь колькасці Фібаначы і залатога перасеку былі прысвечаны працы астранома І. Кеплера, які ўпершыню ўжыў гэтыя правілы для батанікі.

Новае «адкрыццё» чакала залатое сячэнне ў 19 ст. з апублiкаваннем «Эстэтычнага даследаванні" нямецкага вучонага прафесара Цейзига. Ён узвёў гэтыя прапорцыі ў абсалют і абвясціў аб тым, што яны ўніверсальныя для ўсіх прыродных з'яў. Ім былі праведзены даследаванні велізарнай колькасці людзей, дакладней іх цялесных прапорцый (каля 2 тыс.), Па выніках якіх зроблены высновы аб статыстычных пацверджаных заканамернасцях ў суадносінах розных частак цела: даўжыні плячэй, перадплеччаў, кісцяў, пальцаў і г.д.

Былі даследаваны таксама прадметы мастацтва (вазы, архітэктурныя збудаванні), музычныя тоны, памеры пры напісанні вершаў - усё гэта Цейзиг адлюстраваў праз даўжыні адрэзкаў і лічбы, ён жа ўвёў тэрмін «матэматычная эстэтыка». Пасля атрымання вынікаў высветлілася, што атрымліваецца шэраг Фібаначы.

Лік Фібаначы і залатое сячэнне ў прыродзе

У раслінным і жывёльным свеце існуе тэндэнцыя да формаўтварэнне ў выглядзе сіметрыі, якая назіраецца ў кірунку росту і руху. Дзяленне на сіметрычныя часткі, у якіх выконваюцца залатыя прапорцыі, - такая заканамернасць ўласцівая шматлікім раслінам і жывёлам.

Прырода вакол нас можа быць апісана з дапамогай лікаў Фібаначы, напрыклад:

• размяшчэнне лісця або галінак любых раслін, а таксама адлегласці суадносяцца з шэрагам прыведзеных лікаў 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 і далей;
• насенне сланечніка (луска на шышках, вочкі ананаса), размяшчаючыся двух радоў па закручаным спіраль у розныя бакі;
• суадносіны даўжыні хваста і ўсяго цела яшчаркі;
• форма яйкі, калі правесці лінію ўмоўна праз шырокую яго частка;
• суадносіны памераў пальцаў на руцэ чалавека.

І, вядома, самыя цікавыя формы ўяўляюць закручваць па спіралі ракавіны слімакоў, ўзоры на павуціне, рух ветру ўнутры ўрагану, падвойная спіраль ў ДНК і структура галактык - усе яны ўключаюць у сябе паслядоўнасць лікаў Фібаначы.

Выкарыстанне залатога перасеку ў мастацтве

Даследчыкі, якія займаюцца пошукам у мастацтве прыкладаў выкарыстання залатога перасеку, падрабязна даследуюць розныя архітэктурныя аб'екты і творы жывапісу. Вядомыя знакамітыя скульптурныя работы, стваральнікі якіх прытрымліваліся залатых прапорцый, - статуі Зеўса Алімпійскага, Апалона Бельведэрскі і Афіны Парфенос.

Адно з усяго створанага Леанарда да Вінчы - «Партрэт Моны Лізы» - ужо многія гады з'яўляецца прадметам даследаванняў навукоўцаў. Імі было выяўлена, што кампазіцыя працы цалкам складаецца з «залатых трыкутнікаў», аб'яднаных разам у правільны пяцікутнік-зорку. Усе працы да Вінчы з'яўляюцца сведчаннем таго, наколькі глыбокія былі яго пазнання ў будынку і прапорцыях цела чалавека, дзякуючы чаму ён і змог улавіць неверагодна загадкавую ўсмешку Джаконды.

Залатое сячэнне ў архітэктуры

У якасці прыкладу навукоўцы даследавалі шэдэўры архітэктуры, створаныя па правілах "залатога сячэння": егіпецкія піраміды, Пантэон, Парфенон, Сабор Нотр-Дам дэ Пары, храм Васіля Блажэннага і інш.

Парфенон - адно з найпрыгажэйшых будынкаў у Старажытнай Грэцыі (5 ст. Да н.э.) - мае 8 калон і 17 па розных баках, стаўленне яго вышыні да даўжыні бакоў роўна 0,618. Выступы на яго фасадах зроблены па «залатому перасеку» (фота ніжэй).

Адным з навукоўцаў, які прыдумаў і паспяхова ўжываў ўдасканаленне модульнай сістэмы прапорцый для архітэктурных аб'ектаў (так званы «модулор»), - быў французскі архітэктар Ле Корбюзье. У аснову модулора пакладзена вымяральная сістэма, звязаная з умоўным дзяленнем на часткі чалавечага цела.

Руская архітэктар М. Казакоў, які пабудаваў некалькі жылых дамоў у Маскве, а таксама будынкі сената ў Крамлі і Голицынской бальніцы (цяпер 1-я Клінічная ім. Н. І. Пірагова), - быў адным з архітэктараў, якія выкарыстоўвалі пры праектаванні і будаўніцтве законы аб залатым перасеку.

Прымяненне прапорцый ў дызайне

У дызайне адзення ўсё мадэльеры робяць новыя вобразы і мадэлі з улікам прапорцый чалавечага цела і правілаў залатога перасеку, хоць ад прыроды не ўсе людзі маюць ідэальныя прапорцыі.

Пры планаванні ландшафтнага дызайну і стварэнні аб'ёмных паркавых кампазіцый з дапамогай раслін (дрэў і кустоў), фантанаў і малых архітэктурных аб'ектаў таксама могуць прымяняцца заканамернасці «боскіх прапорцый». Бо кампазіцыя парка павінна быць арыентавана на стварэнне ўражанні на наведвальніка, які свабодна зможа арыентавацца ў ім і знаходзіць кампазіцыйны цэнтр.

Усе элементы парку знаходзяцца ў такіх суадносінах, каб з дапамогай геаметрычнага будынкі, ўзаемаразмяшчэння, асвятлення і святла, вырабіць на чалавека ўражанне гармоніі і дасканаласці.

Прымяненне залатога перасеку ў кібернетыцы і тэхніцы

Заканамернасці залатога сячэння і лікаў Фібаначы выяўляюцца таксама ў пераходах энергіі, у працэсах, якія адбываюцца з элементарнымі часціцамі, якія складаюць хімічныя злучэнні, у касмічных сістэмах, у геннай структуры ДНК.

Аналагічныя працэсы адбываюцца і ў арганізме чалавека, выяўляючыся ў біярытмах яго жыцця, у дзеянні органаў, напрыклад, галаўнога мозгу цi зроку.

Алгарытмы і заканамернасці залатых прапорцый шырока выкарыстоўваюцца ў сучаснай кібернетыцы і інфарматыцы. Адна з нескладаных задач, якую даюць вырашаць пачаткоўцам праграмістам, - напісаць формулу і вызначыць, суму лікаў Фібаначы да вызначанага ліку, выкарыстоўваючы мовы праграмавання.

Сучасныя даследаванні тэорыі аб залатой прапорцыі

Пачынаючы з сярэдзіны 20 стагоддзя, цікавасць да праблем і ўплыву заканамернасцяў залатых прапорцый на жыццё чалавека, рэзка ўзрастае, прычым з боку многіх навукоўцаў розных прафесій: матэматыкаў, даследчыкаў этнасу, біёлагаў, філосафаў, медыцынскіх работнікаў, эканамістаў, музыкаў і інш.

У ЗША з 1970-хгадоў пачынае выпускацца часопіс The Fibonacci Quarterly, дзе публікуюцца працы на гэтую тэму. У прэсе з'яўляюцца працы, у якіх абагульненыя правілы залатога перасеку і шэрагу Фібаначы выкарыстоўваюць у розных галінах ведаў. Напрыклад, для кадавання інфармацыі, хімічных даследаванняў, біялагічных і г.д.

Усё гэта пацвярджае высновы старажытных і сучасных вучоных аб тым, што залатая прапорцыя шматбакова звязаная з фундаментальнымі пытаннямі навукі і выяўляецца ў сіметрыі многіх тварэнняў і з'яў навакольнага свету.