Адніманне дробаў з рознымі назоўніка. Складанне і адніманне звычайных дробаў

Адной з найважнейшых навук, прымяненне якой можна ўбачыць у такіх дысцыплінах, як хімія, фізіка і нават біялогія, з'яўляецца матэматыка. Вывучэнне гэтай навукі дазваляе развіць некаторыя разумовыя якасці, палепшыць абстрактнае мысленне і здольнасць канцэнтравацца. Адна з тэм, якія заслугоўваюць асобнай увагі ў курсе "Матэматыка" - складанне і адніманне дробаў. У шматлікіх вучняў яе вывучэнне выклікае цяжкасць. Магчыма, наш артыкул дапаможа лепш зразумець гэтую тэму.

Як адняць дробу, назоўнік якой аднолькавыя

Дробу - гэта тыя ж ліку, з якімі можна вырабляць розныя дзеянні. Іх адрозненне ад цэлых лікаў заключаецца ў прысутнасці назоўніка. Менавіта таму пры выкананні дзеянняў з дробамі трэба вывучыць некаторыя іх асаблівасці і правілы. Найбольш простым выпадкам з'яўляецца адніманне звычайных дробаў, назоўніка якіх прадстаўлены ў выглядзе аднолькавага ліку. Выканаць гэтае дзеянне не складзе адмысловай працы, калі ведаць простае правіла:

• Для таго каб з адной дробу адняць другую, неабходна з лічнік Памяншае дробу адняць лічнік адымаецца дробу. Гэты лік запісваем у лічнік розніцы, а назоўнік пакідаем той жа: k / m - b / m = (kb) / m.

Прыклады аднімання дробаў, назоўніка якіх аднолькавыя

Разгледзім, як гэта выглядае на прыкладзе:

7/19 - 3/19 = (7 - 3) / 19 = 4/19.

Ад лічнік Памяншае дробу «7» адымаем лічнік адымаецца дробу «3», атрымліваем «4». Гэты лік мы запісваем у лічнік адказу, а ў назоўнік ставім тое ж лік, што было ў назоўніка першай і другой дробу - «19».

На малюнку ніжэй прыведзена яшчэ некалькі падобных прыкладаў.

Разгледзім больш складаны прыклад, дзе зроблена адніманне дробаў з аднолькавымі назоўніка:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7) / 47 = 9/47.

Ад лічнік Памяншае дробу "29" отниманием па чарзе лічніку ўсіх наступных дробаў - «3», «8», «2», «7». У выніку атрымліваем вынік «9», які запісваем у лічнік адказу, а ў назоўнік запісваем то лік, якое знаходзіцца ў паказчыкам усіх гэтых дробаў, - «47».

Складанне дробаў, якія маюць аднолькавы назоўнік

Складанне і адніманне звычайных дробаў ажыццяўляецца па адным і тым жа прынцыпе.

• Для таго каб скласці дробу, назоўнік якіх аднолькавыя, неабходна лічніку скласці. Атрыманы лік - лічнік сумы, а назоўнік застанецца той жа: k / m + b / m = (k + b) / m.

Разгледзім, як гэта выглядае на прыкладзе:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Да лічніку першым складальнікам дробу - «1» - дадаем лічнік Другі складнік дробу - «2». Вынік - «3» - запісваем у лічнік сумы, а назоўнік пакідаем той жа, што прысутнічаў у дробах, - «4».

Дробу з рознымі назоўніка і іх адніманне

Дзеянне з дробамі, якія маюць аднолькавы назоўнік, мы ўжо разгледзелі. Як бачым, ведаючы простыя правілы, вырашыць падобныя прыклады досыць лёгка. Але што рабіць, калі неабходна вырабіць дзеянне з дробамі, якія маюць розныя назоўніка? Многія навучэнцы сярэдніх школ прыходзяць у цяжкасць перад такімі прыкладамі. Але і тут, калі ведаць прынцып рашэння, прыклады ўжо ня будуць прадстаўляць для вас складанасці. Тут таксама існуе правіла, без якога рашэнне падобных дробаў проста немагчыма.

• Каб вырабіць адніманне дробаў з рознымі назоўніка, неабходна іх прывесці да аднолькавага найменшаму назоўніка.

Пра тое, як гэта зрабіць, мы пагаворым падрабязней.

ўласцівасць дробу

Для таго каб некалькі дробаў прывесці да аднолькавага назоўніка, трэба выкарыстоўваць у вырашэнні галоўная ўласцівасць дробу: пасля дзялення або множання лічнік і назоўнік на аднолькавы лік атрымаецца дроб, роўная дадзенай.

Так, напрыклад, дроб 2/3 можа мець такія назоўніка, як «6», «9», «12» і т. Д., Гэта значыць яна можа мець выгляд любога ліку, якое кратна «3». Пасля таго як лічнік і назоўнік мы памножым на «2», атрымаецца дроб 4/6. Пасля таго як лічнік і назоўнік зыходнай дробу мы памножым на «3», атрымаем 6/9, а калі аналагічнае дзеянне вырабіць з лічбай "4", атрымаем 8/12. Адным роўнасцю гэта можна запісаць так:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12 ...

Як прывесці некалькі дробаў да аднаго і таго ж назоўніка

Разгледзім, як прывесці некалькі дробаў да аднаго і таго ж назоўніка. Для прыкладу возьмем дробу, прыведзеныя на малюнку ніжэй. Для пачатку неабходна вызначыць, які лік можа стаць назоўнікам для іх усіх. Для палягчэння раскладзем існуючыя назоўніка на множнікі.

Назоўнік дробу 1/2 і дробу 2/3 на множнікі раскласці нельга. Назоўнік 7/9 мае два множніка 7/9 = 7 / (3 х 3), назоўнік дробу 5/6 = 5 / (2 х 3). Зараз неабходна вызначыць, якія ж множнікі будуць найменшымі для ўсіх гэтых чатырох дробаў. Так як у першай дробу ў назоўніку маецца лік "2", значыць, яно павінна прысутнічаць ва ўсіх назоўніка, у дробу 7/9 прысутнічаюць дзве тройкі, значыць, яны таксама абедзве павінны прысутнічаць у назоўніку. Улічваючы вышэйсказанае, вызначаем, што назоўнік складаецца з трох множнікаў: 3, 2, 3 і роўны 3 х 2 х 3 = 18.

Разгледзім першую дроб - 1/2. У яе назоўніку маецца «2», але няма ні адной лічбы «3», а павінна быць дзве. Для гэтага мы назоўнік памнажаем на дзве тройкі, але, згодна з уласцівасці дробу, мы і лічнік павінны памножыць на дзве тройкі:
1/2 = (1 х 3 х 3) / (2 х 3 х 3) = 9/18.

Аналагічна вырабляем дзеянні з астатнімі дробамі.

• 2/3 - у назоўніку не хапае адной тройкі і адной двойкі:
  2/3 = (2 х 3 х 2) / (3 х 3 х 2) = 12/18.
• 7/9 або 7 / (3 х 3) - у назоўніку не хапае двойкі:
  7/9 = (7 х 2) / (9 х 2) = 14/18.
• 5/6 або 5 / (2 х 3) - у назоўніку не хапае тройкі:
  5/6 = (5 х 3) / (6 х 3) = 15/18.

Усё разам гэта выглядае так:

Як адняць і скласці дробу, якія маюць розныя назоўніка

Як ужо гаварылася вышэй, для таго каб вырабіць складанне або адніманне дробаў, якія маюць розныя назоўніка, іх неабходна прывесці да аднаго назоўніка, а далей скарыстацца правіламі аднімання дробаў, якія маюць аднолькавы назоўнік, пра які ўжо распавядалася.

Разгледзім гэта на прыкладзе: 4/18 - 3/15.

Знаходзім кратнае лікаў 18 і 15:

• Лік 18 складаецца з 3 х 2 х 3.
• Лік 15 складаецца з 5 х 3.
• Агульнае кратнае будзе складацца з наступных множнікаў 5 х 3 х 3 х 2 = 90.

Пасля таго як назоўнік будзе знойдзены, неабходна вылічыць множнік, які будзе выдатным для кожнай дробу, гэта значыць тое лік, на якое неабходна будзе памножыць не толькі назоўнік, але і лічнік. Для гэтага лік, якое мы знайшлі (агульнае кратнае), дзелім на назоўнік той дробу, у якой трэба вызначыць дадатковыя множнікі.

• 90 падзяліць на 15. Атрыманае лік «6» будзе множнікам для 3/15.
• 90 падзяліць на 18. Атрыманае лік «5» будзе множнікам для 4/18.

Наступны этап нашага рашэння - прывядзенне кожнай дробу да назоўніка «90».

Як гэта робіцца, мы ўжо казалі. Разгледзім, як гэта запісваецца ў прыкладзе:

(4 х 5) / (18 х 5) - (3 х 6) / (15 х 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Калі дробу з маленькімі лікамі, то можна агульны назоўнік вызначыць, як у прыкладзе, прыведзеным на малюнку ніжэй.

Аналагічна вырабляецца і складанне дробаў, якія маюць розныя назоўніка.

Адніманне і складанне дробаў, якія маюць цэлыя часткі

Адніманне дробаў і іх складанне мы ўжо дэталёва разабралі. Але як вырабіць адніманне, калі ў дробу ёсць цэлая частка? Зноў жа, скарыстаемся некалькімі правіламі:

• Усе дробу, якія маюць цэлую частку, перавесці ў няправільныя. Кажучы простымі словамі, прыбраць цэлую частку. Для гэтага лік цэлай часткі памнажаем на назоўнік дробу, атрыманы твор дадаем да лічніку. Тая колькасць, якую атрымаецца пасля гэтых дзеянняў, - лічнік няправільнай дробу. Назоўнік ж застаецца нязменным.
• Калі дробу маюць розныя назоўніка, варта прывесці іх да аднолькавага.
• Вырабіць складанне або адніманне з аднолькавымі назоўніка.
• Пры атрыманні няправільнай дробу вылучыць цэлую частку.

Ёсць і іншы спосаб, пры дапамозе якога можна ажыццявіць складанне і адніманне дробаў з цэлымі часткамі. Для гэтага вырабляюцца асобна дзеянні з цэлымі часткамі, і асобна дзеянні з дробамі, а вынікі запісваюцца разам.

Прыведзены прыклад складаецца з дробаў, якія маюць аднолькавы назоўнік. У тым выпадку, калі назоўніка розныя, іх неабходна прывесці да аднолькавага, а далей выканаць дзеянні, як паказана на прыкладзе.

Адніманне дробаў з цэлага ліку

Яшчэ адной з разнавіднасцяў дзеянняў з дробамі з'яўляецца той выпадак, калі дроб неабходна адняць ад натуральнага ліку. На першы погляд падобны прыклад здаецца цяжка вырашаемым. Аднак тут усё даволі проста. Для яго рашэньня неабходна перавесці цэлае лік у дроб, прычым з такім назоўнікам, які маецца на адымаецца дробу. Далей вырабляем адніманне, аналагічнае адніманне з аднолькавымі назоўніка. На прыкладзе гэта выглядае так:

7 - 4/9 = (7 х 9) / 9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Прыведзенае ў гэтым артыкуле адніманне дробаў (6 клас) з'яўляецца асновай для вырашэння больш складаных прыкладаў, якія разглядаюцца ў наступных класах. Веды гэтай тэмы выкарыстоўваюцца пасля для вырашэння функцый, вытворных і гэтак далей. Таму вельмі важна разабрацца і зразумець дзеянні з дробамі, якія разглядаюцца вышэй.