Як вырашыць раўнанне прамой праз дзве кропкі?

Матэматыка - не сумная навука, як здаецца парой. У ёй ёсць шмат цікавага, хоць часам і незразумелага для тых, хто не гарыць жаданнем у ёй разбірацца. Сёння гаворка пойдзе пра адну з самых часта сустракаемых і простых тым у матэматыцы, а дакладней той яе вобласці, што на мяжы алгебры і геаметрыі. Пагаворым аб прамых і іх ўраўненнях. Здавалася б, гэта сумная школьная тэма, якая не абяцае нічога цікавага і новага. Аднак гэта не так, і ў гэтым артыкуле мы паспрабуем вам даказаць наш пункт гледжання. Перш чым перайсці да самага цікавага і апісаць раўнанне прамой праз дзве кропкі, мы звернемся да гісторыі ўсіх гэтых вымярэнняў, а затым высвятлім, навошта гэта ўсё было трэба і чаму зараз таксама не перашкодзіць веданне наступных формул.

гісторыя

Яшчэ ў старажытнасці матэматыкі захапляліся геаметрычнымі пабудовамі і разнастайнымі графікамі. Цяжка сёння сказаць, хто першым прыдумаў раўнанне прамой праз дзве кропкі. Але можна меркаваць, што гэтым чалавекам быў Еўклід - старажытнагрэцкі навуковец і філосаф. Менавіта ён у сваім трактаце "Пачала" зарадзіў аснову будучай эўклідавай геаметрыі. Зараз гэты раздзел матэматыкі лічыцца асновай геаметрычнага прадстаўлення свету і праходзіцца ў школе. Але варта сказаць, што эўклідавай геаметрыі дзейнічае толькі на макраўзроўні ў нашым трохмерным вымярэнні. Калі ж разглядаць космас, то не заўсёды атрымоўваецца прадставіць з дапамогай яе ўсе тыя з'явы, што там адбываюцца.

Пасля Еўкліда былі і іншыя навукоўцы. І яны ўдасканальвалі і асэнсоўваецца тое, што ён адкрыў і напісаў. У рэшце рэшт, атрымалася ўстойлівая вобласць геаметрыі, у якой усё да гэтага часу застаецца непарушным. І ўжо тысячагоддзямі даказана, што раўнанне прамой праз дзве кропкі скласці вельмі лёгка і проста. Але перш чым прыступіць да тлумачэння таго, як гэта зрабіць, абмяркуем трохі тэорыі.

тэорыя

Прамая - гэта бясконцы ў абодвух напрамках адрэзак, які можна падзяліць на бясконцае мноства адрэзкаў любой даўжыні. Для таго каб прадставіць прамую, часцей за ўсё выкарыстоўваюць графікі. Прычым графікі могуць быць як у двухмернай, так і ў трохмернай сістэме каардынатаў. І будуюцца яны па каардынатах кропак, ім належаць. Бо калі разглядаць прамую, то можна заўважыць, што яна складаецца з бясконцага мноства кропак.

Аднак ёсць тое, чым прамая вельмі моцна адрозніваецца ад іншых відаў ліній. Гэта яе раўнанне. У агульным выглядзе яно вельмі простае, у адрозненне, скажам, ад ўраўненні акружнасці. Напэўна, кожны з нас праходзіў яго яшчэ ў школе. Але ўсё ж запішам яго агульны выгляд: y = kx + b. У наступным раздзеле мы падрабязна разбяром, што азначае кожная з гэтых літар і як вырашаць гэта немудрагелістае раўнанне прамой, якая праходзіць праз дзве кропкі.

раўнанне прамой

То роўнасць, што было прадстаўлена вышэй, і з'яўляецца неабходнай нам раўнаннем прамой. Варта патлумачыць, што тут што азначае. Як можна здагадацца, y і x - гэта каардынаты кожнай кропкі, якая належыць прамой. Наогул, раўнанне гэта існуе толькі таму, што кожнай кропцы любой прамой ўласціва знаходзіцца ў сувязі з іншымі кропкамі, а таму існуе закон, які злучае адну каардынату з другога. Гэты закон і вызначае, як выглядае раўнанне прамой праз дзве дадзеныя пункту.

Чаму менавіта дзве кропкі? Усё гэта таму, што мінімальна колькасць кропак, неабходнае для пабудовы прамой ў двухмернай прасторы, роўна двум. Калі ж браць трохмерную прастору, то колькасць кропак, неабходнае для пабудовы адной-адзінай прамой таксама будзе роўна двум, так як тры кропкі ўжо складаюць плоскасць.

Існуе таксама тэарэма, даказвае, што праз два любыя пункту магчыма правесці адзіную прамую. Гэты факт можна праверыць на практыцы, злучыўшы лінейкай дзве выпадковыя кропкі на графіцы.

Зараз разгледзім канкрэтны прыклад і пакажам, як вырашаць гэта праславутае раўнанне прамой, якая праходзіць праз дзве дадзеныя пункту.

прыклад

Разгледзім дзве кропкі, праз якія трэба пабудаваць прамую. Задамо ім каардынаты, напрыклад, М ₁ (2; 1) і М ₂ (3; 2). Як мы ведаем з школьнага курсу, першая каардыната - гэта значэнне па восі OX, а другая - па восі OY. Вышэй было прыведзена раўнанне прамой праз дзве кропкі, і, каб нам даведацца адсутнічаюць параметры k і b, трэба скласці сістэму з двух раўнанняў. Фактычна яна будзе складзена з двух раўнанняў, у кожным з якіх будуць дзве нашы невядомыя пастаянныя:

1 = 2k + b

2 = 3k + b

Цяпер застаецца самае галоўнае: вырашыць гэтую сістэму. Робіцца гэта даволі проста. Для пачатку выкажам з першага раўнання b: b = 1-2k. Цяпер трэба падставіць атрыманае роўнасць у другое раўнанне. Робіцца гэта заменай b на атрыманае намі роўнасць:

2 = 3k + 1-2k

1 = k;

Цяпер, калі мы даведаліся, чаму роўна значэнне каэфіцыента k, пара даведацца велічыню наступнай пастаяннай - b. Робіцца гэта яшчэ прасцей. Так як нам вядомая залежнасць b ад k, мы можам падставіць значэнне апошняй у першае раўнанне і даведацца невядомае значэнне:

b = 1-2 * 1 = -1.

Ведаючы абодва каэфіцыента, цяпер можам падставіць іх у зыходнае агульнае раўнанне прамой праз дзве кропкі. Такім чынам, для нашага прыкладу атрымліваем такое раўнанне: y = x-1. Гэта і ёсць шуканае роўнасць, якое мы павінны былі атрымаць.

Перад тым як перайсці да заключэння, абмяркуем прымяненне гэтага падзелу матэматыкі ў паўсядзённым жыцці.

прымяненне

Як такога прымянення раўнанне прамой праз дзве кропкі не знаходзіць. Але гэта не значыць, што гэта не патрэбна нам. У фізіцы і матэматыцы вельмі актыўна прымяняюцца ўраўненні прамых і ўласцівасці, з іх вынікаюць. Вы можаце гэта нават не заўважаць, але матэматыка акружае нас. І нават такія, на першы погляд, нічым не адметныя тэмы, як раўнанне прамой праз дзве кропкі, аказваюцца вельмі карысныя і вельмі часта ўжываюцца на фундаментальным узроўні. Калі на першы погляд здаецца, што гэта зусім нідзе не можа спатрэбіцца, то вы памыляецеся. Матэматыка развівае лагічнае мысленне, якое ніколі не будзе лішнім.

заключэнне

Цяпер, калі мы разабраліся з тым, як будаваць прамыя па двух дадзеных кропках, нам нічога не варта адказаць на любое пытанне, звязаны з гэтым. Напрыклад, калі выкладчык скажа вам: "Напішыце раўнанне прамой, якая праходзіць праз дзве кропкі", то вам не складзе працы зрабіць гэта. Спадзяемся, што гэты артыкул быў карыснай для вас.