Што такое фрактал? Фракталаў ў прыродзе

Часцяком геніяльныя адкрыцця, учыненыя ў навуцы, здольныя кардынальна змяняць наша жыццё. Так, напрыклад, вынаходніцтва вакцыны можа выратаваць мноства людзей, а стварэнне новага ўзбраення прыводзіць да забойства. Літаральна ўчора (у маштабе гісторыі) чалавек «ўтаймаваў» электрычнасць, а сёння ўжо не можа ўявіць сваё жыццё без яго. Аднак існуюць і такія адкрыцця, якія, што называецца, застаюцца ў цені, прычым нягледзячы на тое, што яны таксама аказваюць тое ці іншае ўплыў на наша жыццё. Адным з такіх адкрыццяў стаў фрактал. Большасць людзей нават не чулі пра такое паняцце і не змогуць растлумачыць яго значэнне. У гэтым артыкуле мы паспрабуем разабрацца з пытаннем пра тое, што такое фрактал, разгледзім значэнне гэтага тэрміна з пазіцыі навукі і прыроды.

Парадак у хаосе

Для таго каб зразумець, што такое фрактал, варта было б пачаць разбор палётаў з пазіцыі матэматыкі, аднак перш чым паглыбляцца ў дакладныя навукі, мы трохі пофилософствуем. Кожнаму чалавеку ўласцівая прыродная цікаўнасць, дзякуючы якой ён і спазнае навакольны свет. Часцяком у сваім імкненні пазнання ён імкнецца апэраваць логікай у меркаваннях. Так, аналізуючы працэсы, якія адбываюцца вакол, ён спрабуе вылічыць ўзаемасувязі і вывесці пэўныя заканамернасці. Самыя вялікія розумы планеты занятыя вырашэннем гэтых задач. Груба кажучы, нашы навукоўцы шукаюць заканамернасці там, дзе іх няма, ды і быць не павінна. І тым не менш нават у хаосе ёсць сувязь паміж тымі ці іншымі падзеямі. Вось гэтай сувяззю і выступае фрактал. У якасці прыкладу разгледзім зламаную галінку, валяецца на дарозе. Калі ўважліва да яе прыгледзецца, то мы ўбачым, што яна з усімі сваімі адгалінаваннямі і сучкамі сама падобная на дрэва. Вось гэтая падабенства асобнай часткі з адзіным цэлым сведчыць аб так званым прынцыпе рэкурсіўнага самоподобия. Фракталаў ў прыродзе можна знайсці запар і побач, бо многія неарганічныя і арганічныя формы фармуюцца аналагічна. Гэта і аблокі, і марскія ракавіны, і ракавіны слімакоў, і кроны дрэў, і нават крывяносная сістэма. Дадзены спіс можна працягваць да бясконцасці. Усе гэтыя выпадковыя формы з лёгкасцю апісвае фрактальнай алгарытм. Вось мы падышлі да таго, каб разгледзець, што такое фрактал з пазіцыі дакладных навук.

Трохі сухіх фактаў

Само слова «фрактал» з латыні перакладаецца як "частковы", "падзелены", "раздробнены", а што тычыцца зместу гэтага паняцця, то фармулёўкі як такой не існуе. Звычайна яго трактуюць як самоподобное мноства, частка цэлага, якая паўтараецца сваёй структурай на мікраўзроўні. Гэты тэрмін прыдумаў у сямідзесятых гадах ХХ стагоддзя Бенуа Мандельброта, які прызнаны бацькам фрактальнай геаметрыі. Сёння пад паняццем фрактала маюць на ўвазе графічнае выява нейкай структуры, якая пры павялічаным маштабе будзе падобная сама сабе. Аднак матэматычная база для стварэння гэтай тэорыі была закладзена яшчэ да нараджэння самага Мандельброта, а вось развівацца яна не магла, пакуль не з'явіліся электронныя вылічальныя машыны.

Гістарычная даведка, або Як усё пачыналася

На мяжы 19-20 стагоддзяў вывучэнне прыроды фракталаў насіла эпізадычны характар. Гэта тлумачыцца тым, што матэматыкі аддавалі перавагу вывучаць аб'екты, якія паддаюцца даследаванню, на аснове агульных тэорый і метадаў. У 1872 году нямецкім матэматыкам К. Веерштрас быў пабудаваны прыклад бесперапыннай функцыі, нідзе не дыферэнцыруемых. Аднак гэта пабудова апынулася цалкам абстрактным і цяжкім для ўспрымання. Далей пайшоў швед Хэльзе фон Кох, які ў 1904 годзе пабудаваў бесперапынную крывую, якая не мае нідзе датычнай. Яе даволі лёгка намаляваць, і, як аказалася, яна характарызуецца фрактальнай ўласцівасцямі. Адзін з варыянтаў дадзенай крывой назвалі ў гонар яе аўтара - «сняжынка Коха». Далей ідэю самоподобия фігур развіваў будучы настаўнік Б. Мандельброта француз Поль Леві. У 1938 годзе ён апублікаваў артыкул «Плоскія і прасторавыя крывыя і паверхні, якія складаюцца з частак, падобных цэлага». У ёй ён апісаў новы выгляд - З-крывую Леві. Усе вышэйпералічаныя фігуры ўмоўна ставяцца да такога віду, як геаметрычныя фракталаў.

Дынамічныя, або Алгебраічныя фракталаў

Да дадзенага класа ставіцца мноства Мандельброта. Першымі даследчыкамі гэтага кірунку сталі французскія матэматыкі П'ер вэлюм і Гастон Жюлиа. У 1918 году Жюлиа апублікаваў працу, у аснове якой ляжала вывучэнне ітэрацый рацыянальных комплексных функцый. Тут ён апісаў сямейства фракталаў, якія блізка звязаны з мноствам Мандельброта. Нягледзячы на тое што дадзеная праца праславіла аўтара сярод матэматыкаў, пра яе хутка забыліся. І толькі праз паўстагоддзя дзякуючы кампутарам праца Жюлиа атрымаў другое жыццё. ЭВМ дазволілі зрабіць бачным для кожнага чалавека тую прыгажосць і багацце свету фракталаў, якія маглі «бачыць» матэматыкі, адлюстроўваючы іх праз функцыі. Мандельброта стаў першым, хто выкарыстаў кампутар для правядзення вылічэнняў (уручную такі аб'ём немагчыма правесці), якія дазволілі пабудаваць малюнак гэтых фігур.

Чалавек з прасторавым уяўленнем

Мандельброта пачынаў сваю навуковую кар'еру ў даследчым цэнтры IBM. Вывучаючы магчымасці перадачы дадзеных на вялікія адлегласці, навукоўцы сутыкнуліся з фактам вялікіх страт, якія ўзнікалі з-за шумавых перашкод. Бенуа шукаў шляхі вырашэння гэтай праблемы. Праглядаючы вынікі вымярэнняў, ён звярнуў увагу на дзіўную заканамернасць, а менавіта: графікі шумоў выглядалі аднолькава ў розным маштабе часу. Аналагічная карціна назіралася як для перыяду ў адзін дзень, так і для сямі дзён ці для гадзіны. Сам Бенуа Мандельброта часта паўтараў, што ён працуе не з формуламі, а гуляе з малюнкамі. Гэты вучоны адрозніваўся вобразным мысленнем, любую алгебраічную задачу ён перакладаў у геаметрычную вобласць, дзе правільны адказ відавочны. Так што нядзіўна, што такі чалавек, які адрозніваецца багатым прасторавым мысленнем, і стаў бацькам фрактальнай геаметрыі. Бо ўсведамленне дадзенай фігуры можа прыйсці толькі тады, калі вывучаеш малюнкі і думаць аб сэнс гэтых дзіўных завіхрэнняў, якія ўтвараюць ўзор. Фрактальныя малюнкі не маюць ідэнтычных элементаў, аднак валодаюць падобнымі пры любым маштабе.

Жюлиа - Мандельброта

Адным з першых малюнкаў гэтай фігуры была графічная інтэрпрэтацыя мноства, якая нарадзілася дзякуючы працам Гастона Жюлиа і была дапрацавана Мандельброта. Гастон спрабаваў уявіць, як выглядае мноства, пабудаванае на базе просты формулы, якая проитерирована цыклам зваротнай сувязі. Паспрабуем сказанае растлумачыць чалавечай мовай, так бы мовіць, на пальцах. Для канкрэтнага лічбавага значэння з дапамогай формулы знаходзім новае значэнне. Падстаўляем яго ў формулу і знаходзім наступнае. У выніку атрымліваецца вялікая лікавая паслядоўнасць. Для прадстаўлення такога мноства патрабуецца прарабіць гэтую аперацыю велізарная колькасць раз: сотні, тысячы, мільёны. Гэта і прарабіў Бенуа. Ён апрацаваў паслядоўнасць і перанёс вынікі ў графічную форму. Пасля ён размаляваў атрыманую постаць (кожны колер адпавядае вызначанаму ліку ітэрацый). Дадзенае графічная выява атрымала імя «фрактал Мандельброта».

Л. Карпэнтэр: мастацтва, створанае прыродай

Тэорыя фракталаў даволі хутка знайшла практычнае прымяненне. Бо яна вельмі цесна звязаная з візуалізацыяй самоподобных вобразаў, то першымі, хто ўзяў на ўзбраенне прынцыпы і алгарытмы пабудовы гэтых незвычайных формаў, сталі мастакі. Першым з іх стаў будучы заснавальнік студыі Pixar Ларэн Карпэнтэр. Працуючы над прэзентацыяй прататыпаў самалётаў, яму ў галаву прыйшла ідэя ў якасці фону выкарыстоўваць малюнак гор. Сёння з такой задачай зможа справіцца практычна кожны карыстальнік кампутара, а ў сямідзесятых гадах мінулага стагоддзя ЭВМ былі не ў стане выконваць такія працэсы, бо графічных рэдактараў і прыкладанняў для трохмернай графікі на той момант яшчэ не было. І вось Ларэн трапілася кніга Мандельброта «Фракталы: форма, выпадковасць і памернасць». У ёй Бенуа прыводзіў мноства прыкладаў, паказваючы, што існуюць фракталаў ў прыродзе (фыва), ён апісваў іх разнастайную форму і даводзіў, што яны лёгка апісваюцца матэматычнымі выразамі. Дадзеную аналогію матэматык прыводзіў у якасці аргументу карыснасці якая распрацоўваецца ім тэорыі ў адказ на шквал крытыкі ад сваіх калегаў. Яны сцвярджалі, што фрактал - гэта ўсяго толькі прыгожая карцінка, якая не мае ніякай каштоўнасці, якая з'яўляецца пабочным вынікам працы электронных машын. Карпэнтэр вырашыў апрабаваць гэты метад на практыцы. Уважліва вывучыўшы кнігу, будучы аніматар стаў шукаць спосаб рэалізацыі фрактальнай геаметрыі ў кампутарнай графіцы. Яму спатрэбілася ўсяго тры дні, каб візуалізаваць цалкам рэалістычны малюнак горнага ландшафту на сваім кампутары. І сёння гэты прынцып шырока выкарыстоўваецца. Як аказалася, стварэнне фракталаў не займае шмат часу і сіл.

рашэнне Карпентера

Прынцып, выкарыстаны Ларэнам, апынуўся просты. Ён складаецца ў тым, каб падзяліць буйнейшыя геаметрычныя фігуры на дробныя элементы, а тыя - на аналагічныя меншага памеру, і гэтак далей. Карпэнтэр, выкарыстоўваючы буйныя трыкутнікі, драбніў іх на 4 дробных, і гэтак далей, да таго часу, пакуль у яго не атрымаўся рэалістычны горны пейзаж. Такім чынам, ён стаў першым мастаком, які прымяніў фрактальнай алгарытм ў кампутарнай графіцы для пабудовы патрабаванага малюнка. Сёння гэты прынцып выкарыстоўваецца для імітацыі розных рэалістычных прыродных формаў.

Першая 3D-візуалізацыя на фрактальнай алгарытме

Ужо праз некалькі гадоў Ларэн ужыў свае напрацоўкі ў маштабным праекце - анімацыйным роліку Vol Libre, паказаным на Siggraph ў 1980 годзе. Гэта відэа ўзрушыла многіх, і яго стваральнік быў запрошаны працаваць у Lucasfilm. Тут аніматар змог рэалізавацца ў поўнай меры, ён стварыў трохмерныя ландшафты (цэлую планету) для паўнаметражнага фільма "Star Trek". Любая сучасная праграма ( «Фракталы») або прыкладанне для стварэння трохмернай графікі (Terragen, Vue, Bryce) выкарыстоўвае ўсё той жа алгарытм для мадэлявання тэкстур і паверхняў.

тым Беддард

У мінулым лазерны фізік, а цяпер лічбавых спраў майстар і мастак, Беддард стварыў шэраг вельмі інтрыгуючых геаметрычных фігур, якія назваў фракталы Фабержэ. Вонкава яны нагадваюць дэкаратыўныя яйкі рускага ювеліра, на іх такі ж бліскучы мудрагелісты ўзор. Беддард выкарыстаў шаблонны метад для стварэння сваіх лічбавых візуалізацыі мадэляў. Атрыманыя вырабы дзівяць сваёй прыгажосцю. Хоць шмат хто адмаўляецца параўноўваць прадукт ручной працы з кампутарнай праграмай, аднак варта прызнаць, што атрыманыя формы незвычайна прыгожыя. Разыначка складаецца ў тым, што пабудаваць такі фрактал зможа любы жадаючы, скарыстаўшыся праграмнай бібліятэкай WebGL. Яна дазваляе даследаваць у рэальным часе розныя фрактальныя структуры.

Фракталаў ў прыродзе

Мала хто звяртае ўвагу, але гэтыя дзіўныя фігуры прысутнічаюць паўсюль. Прырода створана з самоподобных фігур, проста мы гэтага не заўважаем. Дастаткова паглядзець праз павелічальнае шкло на нашу скуру ці лісток дрэва, і мы ўбачым фракталаў. Або ўзяць, да прыкладу, ананас ці нават хвост паўліна - яны складаюцца з падобных фігур. А гатунак капусты брокалі раманеска наогул дзівіць сваім выглядам, бо гэта сапраўды можна назваць цудам прыроды.

музычная паўза

Аказваецца, фракталаў - гэта не толькі геаметрычныя фігуры, яны могуць быць і гукамі. Так, музыкант Джонатан Колтон піша музыку з дапамогай фрактальнай алгарытмаў. Ён сцвярджае, што такая мелодыя адпавядае прыроднай гармоніі. Кампазітар усе свае творы публікуе пад ліцэнзіяй CreativeCommons Attribution-Noncommercial, якая прадугледжвае свабоднае распаўсюджванне, капіраванне, перадачу твораў іншымі асобамі.

Індыкатар-фрактал

Дадзеная методыка знайшла вельмі нечаканае ўжыванне. На яе аснове створаны інструмент для аналізу рынку фондавай біржы, і, як следства, яго пачалі ўжываць на рынку «Форекс». Зараз індыкатар-фрактал знаходзіцца на ўсіх гандлёвых платформах і ўжываецца ў гандлёвай тэхніцы, якую называюць цэнавых прарывам. Распрацаваў гэтую методыку Біл Вільямс. Як каментуе сваё вынаходніцтва аўтар, дадзены алгарытм з'яўляецца спалучэннем некалькіх «свечак», у якім цэнтральная адлюстроўвае максімальную альбо, наадварот, мінімальную экстрэмальную кропку.

У заключэнне

Вось мы і разгледзелі, што такое фрактал. Аказваецца, у хаосе, які акружае нас, на самай справе існуюць ідэальныя формы. Прырода з'яўляецца лепшым архітэктарам, ідэальным будаўніком і інжынерам. Яна ўладкованая вельмі лагічна, і калі мы не можам знайсці заканамернасць, гэта не значыць, што яе няма. Можа быць, трэба шукаць у іншым маштабе. З упэўненасцю можна сказаць, што фракталаў захоўваюць яшчэ нямала сакрэтаў, якія нам толькі трэба будзе адкрыць.