Кругі Эйлера: прыклады і магчымасці

Матэматыка па сваёй сутнасці навука абстрактная, калі адысці ад элементарных паняццяў. Так, на пары-тройцы яблыкаў можна наглядна адлюстраваць асноўныя аперацыі, што ляжаць у аснове матэматыкі, але, як толькі плоскасць дзейнасці пашыраецца, гэтых аб'ектаў становіцца недастаткова. Хто-небудзь спрабаваў адлюстраваць на яблыках аперацыі над бясконцымі мноствамі? У тым-та і справа, што не. Чым складаней станавіліся паняцці, якімі аперуе матэматыка ў сваіх меркаваннях, тым больш праблематычна здавалася іх нагляднае выраз, якое было б павінна аблягчыць разуменне. Аднак, на шчасце як сучасных студэнтаў, так і навукі ў цэлым, былі выведзеныя кругі Эйлера, прыклады і магчымасці якіх мы разгледзім ніжэй.

трохі гісторыі

17 красавіка 1707 года свет падарыў навуцы Леанарда Эйлера - выдатнага вучонага, чый уклад у матэматыку, фізіку, караблебудаванне і нават тэорыю музыкі ня пераацаніць. Дзеянні яго прызнаныя і запатрабаваныя па гэты дзень ва ўсім свеце, нягледзячы на тое што навука не стаіць на месцы. Асабліва займальным з'яўляецца той факт, што спадар Эйлер прыняў непасрэдны ўдзел у станаўленні расійскай школы вышэйшай матэматыкі, тым больш што воляю лёсаў ён двойчы вяртаўся ў нашу дзяржаву. Вучоны валодаў унікальнай здольнасцю выбудоўваць празрыстыя ў сваёй логіцы алгарытмы, адсякаючы ўсё лішняе і ў самыя кароткія тэрміны пераходзячы ад агульнага да прыватнаму. Ня будзем пералічваць усе яго заслугі, так як гэта зойме немалую колькасць часу, і звернемся непасрэдна да тэмы артыкула. Менавіта ён прапанаваў выкарыстаць графічны малюнак аперацый над мноствамі. Кругі Эйлера рашэнне любой, нават самай складана складзенай задачы, здольныя адлюстраваць наглядна.

У чым жа сутнасць?

На практыцы кругі Эйлера, схема якіх намаляваная ніжэй, могуць прымяняцца не толькі ў матэматыцы, так як паняцці "мноства" ўласцівыя не толькі дадзенай дысцыпліне. Так, яны з поспехам прымяняюцца і ў менеджменце.

Схема вышэй паказвае адносіны мностваў А (ірацыянальныя ліку), В (рацыянальныя лікі) і З (натуральныя лікі). Кругі паказваюць, што мноства З ўключана ў мноства У, тады як мноства А з імі ніяк не перасякаецца. Прыклад найпросты, але наглядна тлумачыць спецыфіку "ўзаемаадносін мностваў", якія занадта абстрактныя для рэальнага параўнання хоць бы ў сілу іх бясконцасці.

алгебра логікі

Дадзеная вобласць матэматычнай логікі аперуе выказваньнямі, якія могуць насіць як праўдзівы, так і ілжывы характар. Напрыклад, з элементарнага: колькасць 625 дзеліцца нацэліліся на 25, лік 625 дзеліцца нацэліліся на 5, лік 625 з'яўляецца простым. Першае і другое зацвярджэння - ісціна, тады як апошняе - хлусня. Вядома, на практыцы ўсё складаней, але сутнасць паказаная ясна. І, вядома ж, у вырашэнні зноў ўдзельнічаюць кругі Эйлера, прыклады з іх выкарыстаннем занадта зручныя і навочныя, каб іх ігнараваць.

Трохі тэорыі:

• Хай мноства А і В існуюць і не з'яўляюцца пустымі, тады для іх вызначаныя наступныя аперацыі перасячэння, аб'яднання і адмаўлення.
• Скрыжаванне мностваў А і В складаецца з элементаў, што належаць адначасова як мностве А, так і мноству В.
• Аб'яднанне мностваў А і В складаецца з элементаў, што належаць мноству А ці мностве В.
• Адмаўленне мноства А - гэта мноства, што складаецца з элементаў, якія не належаць мноству А.

Усё гэта малююць зноў жа кругі Эйлера ў логіцы, так як з іх дапамогай кожная задача, па-за залежнасці ад ступені складанасці, становіцца відавочнай і нагляднай.

Аксіёмы алгебры логікі

Але няхай будзе, што 1 і 0 існуюць і вызначаны ў мностве А, тады:

• адмаўленне адмаўлення мноства А ёсць мноства А;
• аб'яднанне мноства А з не_А ёсць 1;
• аб'яднанне мноства А з 1 ёсць 1;
• аб'яднанне мноства А з самім сабой ёсць мноства А;
• аб'яднанне мноства А з 0 ёсць мноства А;
• скрыжаванне мноства А з не_А ёсць 0;
• скрыжаванне мноства А з самім сабой ёсць мноства А;
• скрыжаванне мноства А з 0 ёсць 0;
• скрыжаванне мноства А з 1 ёсць мноства А.

Асноўныя ўласцівасці алгебры логікі

Хай мноства А і В існуюць і не з'яўляюцца пустымі, тады:

• для перасячэння і аб'яднання мностваў А і В дзейнічае Перамяшчальная закон;
• для перасячэння і аб'яднання мностваў А і В дзейнічае сочетательный закон;
• для перасячэння і аб'яднання мностваў А і В дзейнічае размеркавальны закон;
• адмаўленне перасячэння мностваў А і В ёсць скрыжаванне адмаўленьняў мностваў А і В;
• адмаўленне аб'яднання мностваў А і В ёсць аб'яднанне адмаўленьняў мностваў А і В.

Ніжэй паказаны кругі Эйлера, прыклады перасячэння і аб'яднання мностваў А, В і С.

перспектывы

Працы Леанарда Эйлера абгрунтавана лічацца базай сучаснай матэматыкі, аднак цяпер іх з поспехам ужываюць у абласцях чалавечай дзейнасці, што з'явіліся адносна нядаўна, узяць хоць бы карпаратыўнае кіраванне: кругі Эйлера, прыклады і графікі апісваюць механізмы мадэляў развіцця, няхай гэта будзе расійская або англа-амерыканская версія .