Звычайныя і дзесятковыя дробы і дзеянні над імі

Ўжо ў пачатковай школе навучэнцы сутыкаюцца з дробамі. І потым яны з'яўляюцца ў кожнай тэме. Забываць дзеянні з гэтымі лікамі нельга. Таму трэба ведаць усю інфармацыю пра звычайныя і дзесятковыя дробы. Паняцці гэтыя нескладаныя, галоўнае - разбірацца ва ўсім па парадку.

Навошта патрэбныя дробу?

Навакольны нас свет складаецца з цэлых прадметаў. Таму ў долях неабходнасці няма. Затое штодзённае жыццё пастаянна напіхвае людзей на працу з часткамі прадметаў і рэчаў.

Напрыклад, шакалад складаецца з некалькіх дзелек. Разгледзім сітуацыю, калі яго плітка ўтворана дванаццаццю прастакутнікамі. Калі яе падзяліць на дваіх, то атрымаецца па 6 частак. Яна добра падзеліцца і на траіх. А вось пецярым не атрымаецца даць па цэламу ліку дзелек шакаладу.

Дарэчы, гэтыя дзелькі - ужо дробу. А далейшае іх дзяленне прыводзіць да з'яўлення больш складаных лікаў.

Што такое «дроб»?

Гэты лік, якое складаецца з частак адзінкі. Вонкава яно выглядае як два ліку, падзеленыя гарызантальнай або нахільнай рысай. Гэтая рыса носіць назву дробавай. Лік, запісанае зверху (злева), называецца лічніку. Тое, што варта знізу (справа), з'яўляецца назоўнікам.

Па сутнасці, дробавая рыса аказваецца знакам дзялення. Гэта значыць лічнік можна назваць дзелім, а назоўнік - дзельнікам.

Якія існуюць дробу?

У матэматыцы іх маецца ўсяго два выгляду: звычайныя і дзесятковыя дробы. З першымі школьнікі знаёмяцца ў пачатковых класах, называючы іх проста «дробу». Другія пазнаюць у 5 класе. Менавіта тады з'яўляюцца гэтыя назвы.

Звычайныя дробы - усе тыя, што запісваюцца ў выглядзе двух лікаў, падзеленых рысай. Напрыклад, 4/7. Дзесятковая - гэта лік, у якім дробавая частка мае пазіцыйную запіс і аддзяляецца ад цэлай пры дапамозе коскі. Да прыкладу, 4,7. Навучэнцам трэба дакладна ўразумець, што два прыведзеных прыкладу - гэта зусім розныя колькасці.

Кожную простую дроб можна запісаць у выглядзе дзесятковага. Гэта зацвярджэнне амаль заўсёды дакладна і ў адваротным кірунку. Існуюць правілы, якія дазваляюць запісаць звычайным дробам дзесятковы дроб.

Якія падвіды маюць названыя віды дробаў?

Пачаць лепш у храналагічным парадку, так як яны вывучаюцца. Першымі ідуць звычайныя дробу. Сярод іх можна вылучыць 5 падвідаў.

1. Правільная. Яе лічнік заўсёды менш назоўніка.

2. Няправільная. У яе лічнік больш або роўны назоўніка.

3. Скарачальнасці / несократимая. Яна можа апынуцца як правільнай, так і няправільнай. Важна іншае, ці ёсць у лічніку са назоўнікам агульныя множнікі. Калі маюцца, то на іх належыць падзяліць абедзве часткі дробу, гэта значыць скараціць яе.

4. Змяшаная. Да яе звыклай правільнай (няправільнай) дробавай часткі прыпісваецца цэлы лік. Прычым яно заўсёды стаіць злева.

5. Складовая. Яна утвараецца з двух падзеленых адзін на аднаго дробаў. Гэта значыць, у ёй налічваецца адразу тры дробавыя рысы.

У дзесятковых дробаў ёсць усяго два падвіда:

• канчатковая, гэта значыць тая, у якой дробавая частка абмежаваная (мае канец);

• бясконцая - лік, у якога лічбы пасля коскі не сканчаюцца (іх можна пісаць бясконца).

Як перакладаць дзесятковы дроб ў звычайную?

Калі гэта канчатковае лік, то прымяняецца асацыяцыя, заснаваная на правіле - як чую, так пішу. Гэта значыць трэба правільна прачытаць яе і запісаць, але ўжо без коскі, а з дробавай рысай.

У якасці падказкі аб неабходным назоўніку, трэба запомніць, што ён заўсёды адзінка і некалькі нулёў. Апошніх трэба напісаць столькі, колькі лічбаў у дробавай часткі разгляданага колькасці.

Як перавесці дзесятковыя дробы ў звычайныя, калі іх цэлая частка адсутнічае, то ёсць роўная нулю? Напрыклад, 0,9 або 0,05. Пасля ўжывання названага правілы, атрымліваецца, што трэба напісаць нуль цэлых. Але яно не паказваецца. Застаецца запісаць толькі дробавыя часткі. У першага чысла назоўнік будзе роўны 10, у другога - 100. Гэта значыць названыя прыклады адказамі будуць мець лікі: 9/10, 5/100. Прычым апошняе аказваецца можна скараціць на 5. Таму вынікам для яе трэба запісаць 1/20.

Як з дзесятковага дробу зрабіць звычайную, калі яе цэлая частка выдатная ад нуля? Напрыклад, 5,23 або 13,00108. У абодвух прыкладах чытаецца цэлая частка і запісваецца яе значэнне. У першым выпадку гэта - 5, у другім - 13. Потым трэба пераходзіць да дробавай часткі. З імі належыць правесці тую ж аперацыю. У першага чысла з'яўляецца 23/100, у другога - 108/100000. Другое значэнне зноў трэба скараціць. У адказе атрымліваюцца такія змешаныя дробу: 5 23/100 і 13 27/25000.

Як перавесці бясконцую дзесятковы дроб у звычайную?

Калі яна з'яўляецца неперыядычныя, то такую аперацыю правесці не ўдасца. Гэты факт звязаны з тым, што кожная дзесятковы дроб заўсёды перакладаецца або ў канчатковую або ў перыядычную.

Адзінае, што дапускаецца рабіць з такой дробам, - гэта акругляць яе. Але тады дзесятковая будзе прыблізна роўна той бясконцай. Яе ўжо можна ператварыць у звычайную. Але зваротны працэс: пераклад у дзесятковую - ніколі не дасць пачатковага значэння. Гэта значыць бясконцыя неперыядычныя дробу ў звычайныя не перакладаюцца. Гэта трэба запомніць.

Як запісаць бясконцую перыядычную дроб у выглядзе звычайнай?

У гэтых ліках пасля коскі заўсёды з'яўляюцца адна або некалькі лічбаў, якія паўтараюцца. Іх называюць перыядам. Напрыклад, 0,3 (3). Тут «3» у перыядзе. Іх адносяць да класа рацыянальных, так як могуць быць ператвораныя ў звычайныя дробу.

Тым, хто сустракаўся з перыядычнымі дробамі, вядома, што яны могуць быць чыстымі або змяшанымі. У першым выпадку перыяд пачынаецца адразу ад коскі. У другім - дробавая частка пачынаецца з якіх-небудзь лічбаў, а потым пачынаецца паўтор.

Правіла, па якім трэба запісаць у выглядзе звычайнай дробу бясконцую дзесятковую, будзе розным для названых двух відаў лікаў. Чыстыя перыядычныя дробу запісаць звычайнымі досыць проста. Як з канчатковымі, іх трэба пераўтварыць: у лічнік запісаць перыяд, а назоўнікам будзе лічба 9, паўтаральная столькі разоў, колькі лічбаў ўтрымлівае перыяд.

Напрыклад, 0, (5). Цэлай часткі ў колькасці няма, таму адразу трэба пачынаць дробавай. У лічнік запісаць 5, а ў назоўнік адну 9. Гэта значыць адказам будзе дроб 5/9.

Правіла аб тым, як запісаць звычайнай дзесятковую перыядычную дроб, якая з'яўляецца змяшанай.

• Злічыць лічбы дробавай часткі да перыяду. Яны будуць паказваць колькасць нулёў у назоўніку.

• Паглядзець на даўжыню перыяду. Столькі 9 будзе мець назоўнік.

• Запісаць назоўнік: спачатку дзявяткі, потым нулі.

• Каб вызначыць лічнік, трэба запісаць рознасць двух лікаў. Памяншае будуць усе лічбы пасля коскі, разам з перыядам. Адымаецца - яно ж без перыяду.

Напрыклад, 0,5 (8) - запішыце перыядычную дзесятковы дроб ў выглядзе звычайнай. У дробавай часткі да перыяду варта адна лічба. Значыць нуль будзе адзін. У перыядзе таксама толькі адна лічба - 8. Гэта значыць дзявятка адна. Гэта значыць, у назоўніку трэба напісаць 90.

Для вызначэння лічніку з 58 трэба адняць 5. Атрымліваецца 53. Адказам да прыкладу прыйдзецца запісаць 53/90.

Як перакладаюцца звычайныя дробу ў дзесятковыя?

Самым простым варыянтам аказваецца лік, у назоўніку якога стаіць лік 10, 100 і іншае. Тады назоўнік проста адкідаецца, а паміж дробавай і цэлай часткамі ставіцца коска.

Бываюць сітуацыі, калі назоўнік лёгка ператвараецца ў 10, 100 і т. Д. Напрыклад, колькасці 5, 20, 25. Іх досыць памножыць на 2, 5 і 4 адпаведна. Толькі памнажаць належыць не толькі назоўнік, але і лічнік на тое ж лік.

Для ўсіх астатніх выпадкаў спатрэбіцца простае правіла: падзяліць лічнік на назоўнік. У гэтым выпадку можа атрымацца два варыянты адказаў: канчатковая або перыядычны дзесятковы дроб.

Дзеянні з звычайнымі дробамі

Складанне і адніманне

З імі навучэнцы знаёмяцца раней за іншых. Прычым спачатку ў дробаў аднолькавыя назоўніка, а потым розныя. Агульныя правілы можна звесці да такога плану.

1. Знайсці найменшае агульнае кратнае назоўніка.

2. Запісаць дадатковыя множнікі да ўсіх звычайным дробам.

3. Памножыць лічнік і назоўнік на вызначаныя для іх множнікі.

4. Скласці (адняць) лічніку дробаў, а агульны назоўнік пакінуць без змены.

5. Калі лічнік памяншаемага менш аднімаемага, то трэба высветліць, перад намі змяшанае лік або правільная дроб.

6. У першым выпадку ў цэлай частцы трэба заняць адзінку. Да лічнік дробу дадаць назоўнік. А потым выконваць адніманне.

7. У другім - неабходна ўжыць правіла аднімання змяшчаць меншую колькасць большае. Гэта значыць з модуля аднімаемага адняць модуль памяншаемага, а ў адказ паставіць знак «-».

8. Ўважліва паглядзець на вынік складання (аднімання). Калі атрымалася няправільная дроб, то належыць вылучыць цэлую частку. Гэта значыць падзяліць лічнік на назоўнік.

Множанне і дзяленне

Для іх выканання дробу ня трэба прыводзіць да агульнага назоўніка. Гэта спрашчае выкананне дзеянняў. Але ў іх усё роўна належыць прытрымлівацца правілах.

1. Пры памнажэньні звычайных дробаў неабходна разгледзець лікі ў лічнік і назоўнік. Калі які-небудзь лічнік і назоўнік маюць агульны множнік, то іх можна скараціць.

2. Перамнажаць лічніку.

3. Перамнажаць назоўніка.

4. Калі атрымалася скарачальнасці дроб, то яе належыць зноў спрасціць.

5. Пры дзяленні трэба спачатку замяніць дзяленне на множанне, а дзельнік (другую дроб) - на адваротны дроб (памяняць месцамі лічнік і назоўнік).

6. Потым дзейнічаць, як пры памнажэньні (пачынаючы з пункта 1).

7. У заданнях, дзе памножыць (дзяліць) трэба на цэлы лік, апошняе належыць запісаць у выглядзе няправільнай дробу. Гэта значыць, са назоўнікам 1. Потым дзейнічаць, як было апісана вышэй.

Дзеянні з дзесятковымі дробамі

Складанне і адніманне

Вядома, заўсёды можна ператварыць дзесятковы дроб ў звычайную. І дзейнічаць па ўжо апісанаму плана. Але часам зручней дзейнічаць без гэтага перакладу. Тады правілы для іх складання і аднімання будуць цалкам аднолькавымі.

1. Зраўнаваць лік лічбаў у дробавай часткі колькасці, гэта значыць пасля коскі. Прыпісаць ў ёй адсутнічае колькасць нулёў.

2. Запісаць дробу так, каб коска апынулася пад коскі.

3. Скласці (адняць) як натуральныя лікі.

4. Знесці коску.

Множанне і дзяленне

Важна, што тут не трэба дапісваць нулі. Дробу належыць пакідаць у тым выглядзе, як яны дадзены ў прыкладзе. А далей ісці па плане.

1. Для множання трэба напісаць дробу адна пад іншы, не звяртаючы ўвагу на коскі.

2. Памножыць, як натуральныя лікі.

3. Паставіць у адказе коску, адлічыўшы ад правага канца адказу столькі лічбаў, колькі іх стаіць у дробавых частках абодвух множнікаў.

4. Для дзялення трэба спачатку пераўтварыць дзельнік: зрабіць яго натуральным лікам. Гэта значыць памножыць яго на 10, 100 і т. Д., У залежнасці ад таго, колькі лічбаў у дробавай часткі дзельніка.

5. На той жа лік памножыць падзельнае.

6. Падзяліць дзесятковы дроб на натуральны лік.

7. Паставіць у адказе коску ў той момант, калі скончыцца дзяленне цэлай часткі.

Як быць, калі ў адным прыкладзе ёсць абодва выгляду дробаў?

Ды ў матэматыцы часта сустракаюцца прыклады, у якіх трэба выканаць дзеянні над звычайнымі і дзесятковымі дробамі. У такіх заданнях магчымыя два шляхі іх вырашэньня. Трэба аб'ектыўна ўзважыць колькасці і выбраць аптымальны.

Першы шлях: прадставіць звычайныя дзесятковымі

Ён падыходзіць, калі пры дзяленні або перакладзе атрымліваюцца канчатковыя дробу. Калі хаця б адно лік дае перыядычную частка, то гэты прыём ўжываць забаронена. Таму, нават калі не падабаецца працаваць з звычайнымі дробамі, прыйдзецца лічыць іх.

Другі шлях: запісаць дзесятковыя дробы звычайнымі

Гэты прыём аказваецца зручным, калі ў часткі пасля коскі каштуюць 1-2 лічбы. Калі іх больш, можа атрымацца вельмі вялікая звычайны дроб і дзесятковыя запісу дазволяць злічыць заданне хутчэй і прасцей. Таму заўсёды трэба цвяроза ацэньваць заданне і выбіраць самы просты метад рашэння.