Двайны інтэграл. Задачы. ўласцівасці

Задачы, якія прыводзяць да паняцця «двайны інтэграл».

1. Хай у плоскасці зададзена плоская матэрыяльная пласцінка, у кожнай кропцы якой вядомая шчыльнасць. Трэба знайсці масу гэтай пласцінкі. Бо дадзеная кружэлка мае выразныя памеры, то яна можа быць складзена ў прастакутнік. Шчыльнасць пласцінкі можна разумець яшчэ і так: у тых кропках прамавугольніка, якія не належаць пласцінцы, будзем лічыць, што шчыльнасць роўная нулю. Задамо раўнамернае разбітыя на аднолькавая колькасць часціц. Такім чынам, зададзеная фігура будзе разбіта на элементарныя прастакутнікі. Разгледзім адзін з такіх прастакутнікаў. Абярэм любую кропку дадзенага прамавугольніка. У сілу драбніцы памераў такога прамавугольніка будзем лічыць, што шчыльнасць ў кожным пункце дадзенага прамавугольніка з'яўляецца велічынёй сталай. Тады маса такой прамавугольнай часцінкі, будзе вызначацца як множанне шчыльнасці ў гэтай кропцы на плошчу прамавугольніка. Плошчу, як вядома, гэта памнажэнне даўжыні прамавугольніка на шырыню. А на каардынатнай плоскасці - гэта змена з некаторым крокам. Тады маса ўсёй пласцінкі складзе суму мас такіх прастакутнікаў. Калі ў такіх суадносінах перайсці да мяжы, тады можна атрымаць дакладныя суадносіны.
2. Задамо прасторавае цела, якое абмежавана пачаткам каардынат і некаторай функцыяй. Трэба знайсці аб'ём названага цела. Як і ў папярэднім выпадку, разаб'ем вобласць на прастакутнікі. Будзем лічыць, што ў кропках, якія не належаць вобласці, функцыя будзе роўная 0. Разгледзім адно з прастакутных разбітыя. Праз бакі дадзенага прамавугольніка правядзем плоскасці, якія перпендыкулярныя да восяў абсцыс і ардынат. Атрымаем паралелепіпед, які знізу абмежаваны плоскасцю адносна восі аппликат, а зверху той функцыяй, якая была зададзена ва ўмове задачы. Абярэм у сярэдзіне прамавугольніка кропку. У сілу драбніцы памераў дадзенага прамавугольніка можна лічыць, што функцыя ў рамках гэтага прамавугольніка мае сталае значэнне, тады і можна разлічыць аб'ём прамавугольніка. А аб'ём фігуры будзе роўны сумах усіх аб'ёмаў такіх прастакутнікаў. Каб атрымаць дакладнае значэнне, неабходна перайсці да мяжы.

Як відаць з пастаўленых задач, у кожным прыкладзе прыходзім да высновы, што розныя задачы прыводзяць да разгляду падвойных сум аднолькавага выгляду.

Ўласцівасці падвойнага інтэграла.

Паставім задачу. Хай у некаторай замкнёнай вобласці зададзена функцыя двух зменных, пры чым зададзеная функцыя непарыўная. Так як вобласць абмежаваная, то можна змясціць яе ў любы прастакутнік, які цалкам утрымлівае ў сабе ўласцівасці пункту зададзенай вобласці. Разаб'ем прастакутнік на роўныя часткі. Назавем дыяметрам разьбітых самую вялікую дыяганаль з атрыманых прастакутнікаў. Абярэм цяпер у межах аднаго такога прамавугольніка кропку. Калі знаходзіць сэнс у гэтай кропцы скласці суму, тады такая сума будзе называцца інтэгральнай для функцыі ў зададзенай вобласці. Знойдзем мяжу такой інтэгральнай сумы, пры ўмовах, што дыяметр разьбітых варта да 0, а колькасць прастакутнікаў - да бясконцасці. Калі такая мяжа існуе і не залежыць ад спосабу разьбітых вобласці на прастакутнікі і ад выбару пункту, тады яна называецца - двайны інтэграл.

Геаметрычнае змест падвойнага інтэграла: двайны інтэграл лічэбнік роўны аб'ёму цела, якое было апісана ў задачы 2.

Ведаючы двайны інтэграл (прысуд), можна ўсталяваць наступныя ўласцівасці:

1. Пастаянную можна выносіць за знак інтэграла.
2. Інтэграл сумы (розніцы) роўны суме (розніцы) інтэгралаў.
3. З функцый менш будзе тая, двайны інтэграл якой менш.
4. Модуль можна ўносіць пад знак падвойнага інтэграла.