Бісектрыса вугла трохвугольніка

Што такое бісектрыса вугла трохвугольніка? На гэтае пытанне ў некаторых людзей з мовы зрываецца даволі вядомая прымаўка: "Гэта пацук, бегаў па кутках і якая дзеліць кут папалам". Калі адказ павінен быць "з гумарам", то, магчыма, ён правільны. Але з навуковага пункту гледжання адказ на гэтае пытанне павінен быў бы гучаць прыкладна так: "Гэта прамень, які пачынаецца ў вяршыні кута і якая дзеліць апошні на дзве роўныя часткі". У геаметрыі гэтая фігура таксама ўспрымаецца як адрэзак бісектрысы да яе перасячэння з процілеглага боку трохвугольніка. Гэта не з'яўляецца памылковым меркаваннем. А што яшчэ вядома пра раўнасечнай кута, акрамя яе вызначэння?

Як і ў любога геаметрычнага месцы кропак, у яе маюцца свае прыкметы. Першы з іх - хутчэй, нават не прыкмета, а тэарэма, якую можна коратка выказаць так: "Калі Бісектрысай падзяліць процілеглы ёй бок на дзве часткі, то іх стаўленне будзе адпавядаць адносінах бакоў вялікага трыкутніка".

Другая ўласцівасць, якое яна мае: кропка перасячэння медыян ўсе кутоў называецца инцентром.

Трэці прыкмета: бісектрысы аднаго ўнутранага і двух знешніх кутоў трыкутніка перасякаюцца ў цэнтры адной з трох у яе упісаных акружнасцяў.

Чацвёртае ўласцівасць бісектрысы кута трыкутніка ў тым, што калі кожны з іх роўны, то апошні з'яўляецца роўнабаковы.

Пяты прыкмета таксама тычыцца роўнабаковага трыкутніка і з'яўляецца галоўным арыенцірам па яго распазнанню на чарцяжы па бісектрыса, а менавіта: у роўнабаковага трыкутніка яна адначасова выконвае ролю медыяны і вышыні.

Бісектрыса кута можа быць пабудаваная з дапамогай цыркуля і лінейкі:

Шостае правіла абвяшчае, што немагчыма пабудаваць трохкутнік з дапамогай апошніх толькі пры наяўных бісектрыса, як і немагчыма пабудаваць такім спосабам падваенне куба, квадратуру круга і трисекцию кута. Уласна кажучы, гэта і ёсць усе ўласцівасці бісектрысы кута трыкутніка.

Калі вы ўважліва чыталі папярэдні абзац, то, магчыма, вас зацікавіла адно словазлучэнне. "Што такое трисекция кута?" - напэўна спытаеце вы. Триссектриса трохі падобная з Бісектрысай, але калі накрэсліць апошнюю, то кут падзеліцца на дзве роўныя часткі, а пры пабудове трисекции - на тры. Натуральна, што бісектрыса вугла запамінаецца лягчэй, бо трисекцию ў школе не вучаць. Але для паўнаты карціны распавяду і пра яе.

Триссектрису, як я ўжо сказала, нельга пабудаваць толькі цыркулем і лінейкай, але яе магчыма стварыць з дапамогай правілаў Фудзиты і некаторых крывых: слімакі Паскаля, квадратрисы, конхоиды Нікамед, канічных перасекаў, спіралі Архімеда.

Задачы па трисекции кута досыць проста вырашаюцца пры дапамозе невсиса.

У геаметрыі існуе тэарэма аб триссектрисах кута. Называецца яна тэарэмай Морлі (Морлея). Яна сцвярджае, што кропкі перасячэння знаходзяцца пасярэдзіне триссектрис кожнага кута будуць вяршынямі роўнабаковага трыкутніка.

Маленькі чорны трохкутнік ўсярэдзіне вялікага заўсёды будзе роўнабаковага. Гэтая тэарэма была адкрыта брытанскім навукоўцам Фрэнкам Морлі ў 1904 годзе.

Вось колькі ўсяго можна даведацца аб падзеле кута: триссектриса і бісектрыса кута заўсёды патрабуюць дэталёвых тлумачэнняў. А бо тут было прыведзена мноства яшчэ не раскрытых мной вызначэнняў: слімак Паскаля, конхоида Нікамед і г.д. Не сумнявайцеся, пра іх можна напісаць яшчэ больш.