Геаметрычная прагрэсія. Прыклад з рашэннем

Разгледзім некаторы шэраг.

7 28 112 448 1792 ...

Цалкам ясна відаць, што значэнне любога яго элемента больш папярэдняга роўна ў чатыры разы. Значыць, дадзены шэраг з'яўляецца прагрэсіяй.

геаметрычнай прагрэсіяй называецца бясконцая паслядоўнасць лікаў, галоўнай асаблівасцю якой з'яўляецца тое, што наступнае лік атрымліваецца з папярэдняга пасродкам множання на нейкі вызначаны лік. Гэта выяўляецца наступнай формулай.

a _{z +1} = a _z · q, дзе z - нумар абранага элемента.

Адпаведна, z ∈ N.

Перыяд, калі ў школе вывучаецца геаметрычная прагрэсія - 9 клас. Прыклады дапамогуць разабрацца ў паняцці:

0.25 0.125 0.0625 ...

18 6 2 ...

Зыходзячы з гэтай формулы, назоўнік прагрэсіі магчыма знайсці наступным чынам:

Ні q, ні _b z не могуць раўняцца нулю. Гэтак жа кожны з элементаў лікавага шэрагу прагрэсіі не павінен раўняцца нулю.

Адпаведна, каб даведацца наступнае лік шэрагу, трэба памножыць апошняе на q.

Каб задаць дадзеную прагрэсіі, неабходна ўказаць першы яе элемент і назоўнік. Пасля гэтага магчыма знаходжанне любога з наступных членаў і іх сумы.

разнавіднасці

У залежнасці ад q і a _1, дадзеная прагрэсія падзяляецца на некалькі відаў:

• Калі і a _1, і q больш адзінкі, то такая паслядоўнасць - нарастальная з кожным наступным элементам геаметрычная прагрэсія. Прыклад такой прадстаўлены далей.

Прыклад: a ₁ = 3, q = 2 - абодва параметру больш адзінкі.

Тады лікавая паслядоўнасць можа быць запісаная так:

3 6 12 24 48 ...

• Калі | q | менш адзінкі, гэта значыць, множанне на яго эквівалентна дзяленню, то прагрэсія з падобнымі ўмовамі - спадальная геаметрычная прагрэсія. Прыклад такой прадстаўлены далей.

Прыклад: a ₁ = 6, q = 1/3 - a ₁ больш адзінкі, q - менш.

Тады лікавую паслядоўнасць можна запісаць такім чынам:

6 2 2/3 ... - любы элемент больш элемента, наступнага за ім, у 3 разы.

• Знаказменных. Калі q <0, то знакі ў лікаў паслядоўнасці пастаянна чаргуюцца па-за залежнасці ад a _1, а элементы ні ўзрастаюць, ні меншаюць.

Прыклад: a ₁ = -3, q = -2 - абодва параметру менш за нуль.

Тады лікавую паслядоўнасць можна запісаць так:

-3, 6, -12, 24, ...

формулы

Для зручнага выкарыстання геаметрычных прагрэсій існуе мноства формул:

• Формула z-га члена. Дазваляе разлічыць элемент, які стаіць пад канкрэтным нумарам без разліку папярэдніх лікаў.

Прыклад: q = 3, a ₁ = 4. Патрабуецца палічыць чацвёрты элемент прагрэсіі.

Рашэнне: a ₄ = 4 · 3 ^4-1 = 4 · 3 ³ = 4 · 27 = 108.

• Сума першых элементаў, чыё колькасць роўна z. Дазваляе разлічыць суму ўсіх элементаў паслядоўнасці да _a z ўключна.

Так як (1- q) каштуе ў назоўніку, то (1 - q) ≠ 0, такім чынам, q ня роўнае 1.

Заўвага: калі б q = 1, то прагрэсія ўяўляла б сабой шэраг з бясконца паўтаральнага колькасці.

Сума геаметрычнай прагрэсіі, прыклады: a ₁ = 2, q = -2. Палічыць S _5.

Рашэнне: S ₅ = 22 - разлік па формуле.

• Сума, калі | q | <1 і калі z імкнецца да бясконцасці.

Прыклад: a ₁ = _2, q = 0.5. Знайсці суму.

Рашэнне: _S z = 2 · = 4

Калі палічыць суму некалькіх членаў ўручную, то бачна, што яна сапраўды імкнецца да чатырох.

_S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некаторыя ўласцівасці:

• Характарыстычных ўласцівасць. Калі наступнае ўмова выконваецца для любога z, то зададзены лікавы шэраг - геаметрычная прагрэсія:

_a z ² = _A z _-1 · _A z _{+ 1}

• Гэтак жа квадрат любога ліку геаметрычнай прагрэсіі знаходзіцца пры дапамозе складання квадратаў двух іншых любых лікаў у зададзеным шэрагу, калі яны роўнападаленыя ад гэтага элемента.

_a z ² = _a z _{- t} ² + _a z _{+ t} ^2, дзе t - адлегласць паміж гэтымі лікамі.

• Элементы адрозніваюцца ў q раз.
• Лагарыфмы элементаў прагрэсіі гэтак жа ўтвараюць прагрэсіі, але ўжо арыфметычную, гэта значыць кожны з іх больш папярэдняга на вызначаны лік.

Прыклады некаторых класічных задач

Каб лепш зразумець, што такое геаметрычная прагрэсія, прыклады з рашэннем для 9 класа могуць дапамагчы.

• Ўмовы: a ₁ = 3, a ₃ = 48. Знайсці q.

Рашэнне: кожны наступны элемент больш папярэдняга ў q раз. Неабходна выказаць адны элементы праз іншыя з дапамогай назоўніка.

Такім чынам, a ₃ = q ² · a ₁

Пры падстаноўцы q = 4

• Ўмовы: a ₂ = 6, a ₃ = 12. Разлічыць S _6.

Рашэнне: Для гэтага дастаткова знайсці q, першы элемент і падставіць у формулу.

a ₃ = q · a _2, такім чынам, q = 2

a ₂ = q · A _1, таму a ₁ = 3

S ₆ = 189

• · A ₁ = 10, q = -2. Знайсці чацвёрты элемент прагрэсіі.

Рашэнне: для гэтага дастаткова выказаць чацвёрты элемент праз першы і праз назоўнік.

a ₄ = q ³ · a ₁ = -80

Прыклад ужывання:

• Кліент банка здзейсніў ўклад на суму 10000 рублёў, па ўмовах якога кожны год кліенту да асноўнай суме будуць дадавацца 6% ад яе ж. Колькі сродкаў будзе на рахунку праз 4 гады?

Рашэнне: Першапачатковая сума роўная 10 тысячам рублёў. Значыць, праз год пасля ўкладання на рахунку будзе сума, роўная 10000 + 10000 · 0.06 = 10000 · 1.06

Адпаведна, сума на рахунку яшчэ праз адзін год будзе выяўляцца наступным чынам:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Гэта значыць з кожным годам сума павялічваецца ў 1.06 раз. Значыць, каб знайсці колькасць сродкаў на рахунку праз 4 гады, досыць знайсці чацвёрты элемент прагрэсіі, якая зададзена першым элементам, роўным 10 тысячам, і назоўнікам, роўным 1.06.

S = 1.06 · 1.06 · 1.06 · 1.06 · 10000 = 12625

Прыклады задач на вылічэнне сумы:

У розных задачах выкарыстоўваецца геаметрычная прагрэсія. Прыклад на знаходжанне сумы можа быць зададзены наступным чынам:

a ₁ = 4, q = 2, разлічыць S _5.

Рашэнне: усе неабходныя для разліку дадзеныя вядомыя, трэба проста падставіць іх у формулу.

S ₅ = 124

• a ₂ = 6, a ₃ = 18. Разлічыць суму першых шасці элементаў.

рашэнне:

У геом. прагрэсіі кожны наступны элемент больш папярэдняга ў q раз, гэта значыць для вылічэнні сумы неабходна ведаць элемент a ₁ і назоўнік q.

a ₂ · q = a ₃

q = 3

Аналагічным чынам патрабуецца знайсці a _1, ведаючы a ₂ і q.

a ₁ · q = a ₂

a ₁ = 2

І далей дастаткова падставіць вядомыя дадзеныя ў формулу сумы.

S ₆ = 728.