Сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў. Аднастайныя сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў

Яшчэ ў школе кожны з нас вывучаў ўраўненні і, напэўна, сістэмы раўнанняў. Але не многія ведаюць, што існуе некалькі спосабаў іх вырашэння. Сёння мы падрабязна разбяром ўсе метады рашэння сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў, якія стаяць больш чым з двух роўнасцяў.

гісторыя

На сённяшні дзень вядома, што мастацтва вырашаць раўнанні і іх сістэмы зарадзілася яшчэ ў Старажытным Вавілоне і Егіпце. Аднак роўнасці ў іх звыклым для нас выглядзе з'явіліся пасля ўзнікнення знака роўнасці "=", які быў уведзены у 1556 году ангельскай матэматыкам Рэкордам. Дарэчы, гэты знак быў абраны не проста так: ён азначае два паралельных роўных адрэзка. І праўда, лепшага прыкладу роўнасці не прыдумаць.

Заснавальнікам сучасных літарных пазначэнняў невядомых і знакаў ступеняў з'яўляецца французскі матэматык Франсуа Віета. Аднак яго абазначэння значна адрозніваліся ад сённяшніх. Напрыклад, квадрат невядомага чысла ён абазначаў літарай Q (лац. "Quadratus"), а куб - літарай C (лац. "Cubus"). Гэтыя абазначэння цяпер здаюцца нязручнымі, але тады гэта быў найбольш зразумелы спосаб запісаць сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў.

Аднак недахопам у тагачасных метадах рашэння было тое, што матэматыкі разглядалі толькі станоўчыя карані. Магчыма, гэта звязана з тым, што адмоўныя значэння не мелі ніякага практычнага прымянення. Так ці інакш, але першымі лічыць адмоўныя карані пачалі менавіта італьянскія матэматыкі Нікола Тарталья, Джероламо Кардана і Рафаэль Бомбелли ў 16 стагоддзі. А сучасны выгляд, асноўны метад рашэння квадратных ураўненняў (праз дискриминант) быў створаны толькі ў 17 стагоддзі дзякуючы працам Дэкарта і Ньютана.

У сярэдзіне 18 стагоддзя швейцарскі матэматык Габрыэль Крамер знайшоў новы спосаб для таго, каб зрабіць рашэнне сістэм лінейных раўнанняў прасцей. Гэты спосаб быў пасля названы яго імем і па гэты дзень мы карыстаемся ім. Але пра метад Крамера пагаворым крыху пазней, а пакуль абмяркуем лінейныя ўраўненні і метады іх вырашэння асобна ад сістэмы.

лінейныя ўраўненні

Лінейныя ўраўненні - самыя простыя роўнасці з зменнай (зменнымі). Іх адносяць да алгебраічных. Лінейныя ўраўненні запісваюць у агульным выглядзе так: а ₁ * x ₁ + а _{2 *} x ₂ + ... а _n * x _n = b. Прадстаўленне іх у гэтым выглядзе нам спатрэбіцца пры складанні сістэм і матрыц далей.

Сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў

Вызначэнне гэтага тэрміну такое: гэта сукупнасць раўнанняў, якія маюць агульныя невядомыя велічыні і агульнае рашэнне. Як правіла, у школе ўсё вырашалі сістэмы з двума ці нават трыма раўнаннямі. Але бываюць сістэмы з чатырма і больш складнікамі. Давайце разбярэмся спачатку, як след іх запісаць так, каб у далейшым было зручна вырашаць. Па-першае, сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў будуць выглядаць лепш, калі ўсе зменныя будуць запісаныя як x з адпаведным індэксам: 1,2,3 і гэтак далей. Па-другое, варта прывесці ўсе ўраўненні да кананічнага ўвазе: а ₁ * x ₁ + а _{2 *} x ₂ + ... а _n * x _n = b.

Пасля ўсіх гэтых дзеянняў мы можам пачаць распавядаць, як знаходзіць рашэнне сістэм лінейных раўнанняў. Вельмі моцна для гэтага нам спатрэбяцца матрыцы.

матрыцы

Матрыца - гэта табліца, якая складаецца з радкоў і слупкоў, а на іх скрыжаванні знаходзяцца яе элементы. Гэта могуць быць альбо канкрэтныя значэння, альбо зменныя. Часцей за ўсё, каб пазначыць элементы, пад імі расстаўляюць ніжнія індэксы (напрыклад, а ₁₁ або а _23). Першы індэкс азначае нумар радка, а другі - слупка. Над матрыцамі, як і над любым іншым матэматычным элементам можна здзяйсняць розныя аперацыі. Такім чынам, можна:

1) адымаецца і складаць аднолькавыя па памеры табліцы.

2) памнажаем матрыцу на якое-небудзь лік або вектар.

3) Транспонировать: пераўтвараць радкі матрыцы ў слупкі, а слупкі - у радкі.

4) памнажаем матрыцы, калі лік радкоў адной з іх роўна колькасці слупкоў іншы.

Больш падрабязна абмяркуем усе гэтыя прыёмы, так як яны спатрэбяцца нам у далейшым. Адніманне і складанне матрыц адбываецца вельмі проста. Так як мы бярэм матрыцы аднолькавага памеру, то кожны элемент адной табліцы суадносіцца з кожным элементам іншы. Такім чынам складаем (адымаем) два гэтых элемента (важна, каб яны стаялі на аднолькавых месцах у сваіх матрыцах). Пры памнажэньні матрыцы на лік або вектар неабходна проста памножыць кожны элемент матрыцы на гэты лік (ці вектар). Транспанаванне - вельмі цікавы працэс. Вельмі цікава часам бачыць яго ў рэальным жыцці, напрыклад, пры змене арыентацыі планшэта ці тэлефона. Значкі на працоўным стале ўяўляюць сабой матрыцу, а пры змене становішча яна транспонируется і становіцца шырэй, але памяншаецца ў вышыні.

Разбяром яшчэ такі працэс, як множанне матрыц. Хоць ён нам і не спатрэбiцца, але ведаць яго будзе ўсё роўна карысна. Памножыць дзве матрыцы можна толькі пры ўмове, што колькасць слупкоў адной табліцы роўна ліку радкоў іншы. Цяпер возьмем элементы радкі адной матрыцы і элементы адпаведнага слупка іншы. Перамнажаць іх адзін на аднаго і затым складзём (гэта значыць, напрыклад, твор элементаў a ₁₁ і а ₁₂ на b ₁₂ і b ₂₂ будзе роўна: а ₁₁ * b ₁₂ + а ₁₂ * b _22). Такім чынам, атрымліваецца адзін элемент табліцы, і аналагічным метадам яна запаўняецца далей.

Цяпер можам прыступіць да разгляду таго, як вырашаецца сістэма лінейных раўнанняў.

метад Гаўса

Гэтай тэму пачынаюць праходзіць яшчэ ў школе. Мы добра ведаем паняцце "сістэма двух лінейных раўнанняў" і ўмеем іх вырашаць. Але што рабіць, калі лік раўнанняў больш за два? У гэтым нам дапаможа метад Гаўса.

Вядома, гэтым метадам зручна карыстацца, калі зрабіць з сістэмы матрыцу. Але можна і не пераўтвараць яе і вырашаць у чыстым выглядзе.

Такім чынам, як вырашаецца гэтым метадам сістэма лінейных раўнанняў Гаўса? Дарэчы, хоць гэты спосаб і названы яго імем, але адкрылі яго яшчэ ў старажытнасці. Гаўс прапануе наступнае: праводзіць аперацыі з раўнаннямі, каб у рэшце рэшт прывесці ўсю сукупнасць да ступеністаму ўвазе. Гэта значыць, трэба, каб зверху ўніз (калі правільна расставіць) ад першага раўнання да апошняга ўбывала па адным невядомаму. Іншымі словамі, трэба зрабіць так, каб у нас атрымалася, скажам, тры ўраўненні: у першым - тры невядомых, у другім - два, у трэцім - адно. Тады з апошняга раўнання мы знаходзім першае невядомае, падстаўляем яго значэнне ў другое або першае раўнанне, і далей знаходзім тыя, што засталіся дзве зменныя.

метад Крамера

Для асваення гэтага метаду жыццёва неабходна валодаць навыкамі складання, аднімання матрыц, а таксама трэба ўмець знаходзіць вызначальнікі. Таму, калі вы дрэнна ўсё гэта робіце ці зусім не ўмееце, прыйдзецца павучыцца і патрэніравацца.

У чым сутнасць гэтага метаду, і як зрабіць так, каб атрымалася сістэма лінейных раўнанняў Крамера? Усё вельмі проста. Мы павінны пабудаваць матрыцу з лікавых (практычна заўсёды) каэфіцыентаў сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў. Для гэтага проста бярэм колькасці перад невядомымі і расстаўляем ў табліцу ў тым парадку, як яны запісаны ў сістэме. Калі перад лікам стаіць знак "-", то запісваем адмоўны каэфіцыент. Такім чынам, мы склалі першую матрыцу з каэфіцыентаў пры невядомых, не ўключаючы колькасці пасля знакаў роўнасці (натуральна, што раўнанне павінна быць прыведзена да кананічнага ўвазе, калі справа знаходзіцца толькі лік, а злева - усё невядомыя з каэфіцыентамі). Затым трэба скласці яшчэ некалькі матрыц - па адной для кожнай зменнай. Для гэтага замяняем ў першай матрыцы па чарзе кожны слупок з каэфіцыентамі слупком лікаў пасля знака роўнасці. Такім чынам атрымліваем некалькі матрыц і далей знаходзім іх вызначальнікі.

Пасля таго як мы знайшлі вызначальнікі, справа за малым. У нас ёсць пачатковая матрыца, і ёсць некалькі атрыманых матрыц, якія адпавядаюць розным пераменным. Каб атрымаць рашэння сістэмы, мы дзелім вызначальнік атрыманай табліцы на вызначальнік пачатковай табліцы. Атрыманы лік і ёсць значэнне адной з зменных. Аналагічна знаходзім ўсе невядомыя.

іншыя метады

Існуе яшчэ некалькі метадаў для таго, каб атрымаць рашэнне сістэм лінейных раўнанняў. Напрыклад, так званы метад Гаўса-Жордана, які ўжываецца для знаходжання рашэнняў сістэмы квадратных ураўненняў і таксама звязаны з ужываннем матрыц. Існуе таксама метад Якобі для вырашэння сістэмы лінейных алгебраічных раўнанняў. Ён лягчэй усіх адаптуецца для кампутара і ўжываецца ў вылічальнай тэхніцы.

складаныя выпадкі

Складанасць звычайна ўзнікае, калі лік раўнанняў меншая за колькасць зменных. Тады можна напэўна сказаць, што, альбо сістэма несумеснымі (гэта значыць не мае каранёў), або колькасць яе рашэнняў імкнецца да бясконцасці. Калі ў нас другі выпадак - то трэба запісаць агульнае рашэнне сістэмы лінейных раўнанняў. Яно будзе змяшчаць як мінімум адну зменную.

заключэнне

Вось мы і падышлі да канца. Падвядзем вынікі: мы разабралі, што такое сістэма і матрыца, навучыліся знаходзіць агульнае рашэнне сістэмы лінейных раўнанняў. Акрамя гэтага разгледзелі іншыя варыянты. Высветлілі, як вырашаецца сістэма лінейных раўнанняў: метад Гаўса і метад Крамера. Пагаварылі пра складаныя выпадках і іншых спосабах знаходжання рашэнняў.

На самай справе гэтая тэма значна больш шырокая, і калі вы хочаце лепш у ёй разабрацца, то раім пачытаць больш спецыялізаванай літаратуры.